Магма (алгебра)

---

Магма (группоид) в общей алгебре — алгебра, состоящая из множества М с одной бинарной операцией M × M → M. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.

Термин «магма» был предложен Бурбаки. Термин «группоид» старше, он предложен Ойстином Оре, однако этот термин также относится к другой общеалгебраической структуре — теоретико-категорному группоиду, и в более современной литературе чаще используется в этом смысле.

Обобщённо магмы обычно не изучаются; вместо этого изучаются различные типы, отличающиеся дополнительно вводимыми аксиомами. Обычно изучаемые типы магм включают следующие:

Морфизм магм — это функция ${\displaystyle f\colon M\to N}$, соотносящая магме ${\displaystyle M}$ магму ${\displaystyle N}$, которая сохраняет бинарную операцию:

где ${\displaystyle *_{M}}$ и ${\displaystyle *_{N}}$ обозначают бинарные операции на ${\displaystyle M}$ и на ${\displaystyle N}$ соответственно.

Для общего, неассоциативного случая, операция магмы может быть многократно повторена. Для обозначения порядка используются скобки. Результирующая строка состоит из символов, обозначающих элементы магмы, и сбалансированных скобок. Множество всех возможных строк сбалансированных скобок называется языком Дика. Общее число различных способов записи n применений оператора магмы определяется числом Каталана ${\displaystyle C_{n}}$. Так например, ${\displaystyle C_{2}=2}$, что эквивалентно утверждению, что ${\displaystyle (ab)c}$ и ${\displaystyle a(bc)}$ — единственно возможные способы определения порядка двукратного применения бинарной операции магмы.

---