Метод изображений

---

Метод изображений (метод зеркальных отображений) — один из методов математической физики, применяемый для решения краевых задач для уравнения Гельмгольца, уравнения Пуассона, волнового уравнения и некоторых других.

Суть метода изображений состоит в том, что исходная задача отыскания поля заданных (сторонних) источников в присутствии граничных поверхностей сводится к расчёту поля тех же и некоторых добавочных (фиктивных) источников в безграничной среде, которые помещаются вне области отыскания поля исходной задачи. Эти добавочные источники называются источниками-изображениями. Правила их построения полностью аналогичны тем, по которым строятся изображения точечных источников в оптике в системе зеркал (здесь зеркала повторяют форму граничных поверхностей). Величины источников-изображений определяются граничными условиями на поверхностях, а также требованиями одинаковости поля, создаваемого реальной системой источников и поверхностей, и системой, составленной из действительных источников и фиктивных источников-изображений в пространстве вблизи действительных источников.

С помощью метода изображений обычно решаются задачи, в которых каждому заданному точечному источнику можно сопоставить конечную систему (иногда бесконечный дискретный ряд) однотипных точечных источников-изображений. Поэтому наибольшее распространение метод изображений получил в электростатике. Также метод изображений можно распространить на более широкий класс границ и граничных условий в рамках метода геометрической оптики при достаточно малой длине волны и некоторых уточняющих его коротковолновых приближений. В этом случае он сводится к построению картины лучей и геометрооптических изображений.

Пусть точечный заряд ${\displaystyle q}$ расположен на расстоянии ${\displaystyle a}$ от проводящей плоскости. Требуется определить силу, с которой плоскость действует на заряд.

Введём равный и противоположный по знаку заряд-изображение с другой стороны плоскости на том же расстоянии. Сила притяжения между реальным зарядом и зарядом-изображением определяется по закону Кулона:

Пусть точечный заряд ${\displaystyle q}$ расположен на расстоянии ${\displaystyle a}$ от плоской границы раздела двух диэлектриков с проницаемостями ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$. Требуется определить силу, которая действует на заряд.

---