Множество Витали

---

Множество Витали — первый пример множества вещественных чисел, не имеющего меры Лебега. Этот пример, ставший классическим, описал итальянский математик Джузеппе Витали в 1905 году.^[1]

Годом ранее статьи Витали, в 1904 году, Анри Лебег опубликовал «Лекции об интегрировании и отыскании примитивных функций», где изложил свою теорию меры и высказал надежду, что она окажется применима к любому ограниченному множеству вещественных чисел. Открытие множества Витали показало, что эта надежда не оправдалась. В дальнейшем были обнаружены и другие контрпримеры, однако их построение всегда существенно опирается на аксиому выбора.

Рассмотрим следующее отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ на отрезке ${\displaystyle [0,\;1]}$: ${\displaystyle x\sim y}$ если разница ${\displaystyle x-y}$ рациональна. Как обычно, это отношение эквивалентности разбивает интервал ${\displaystyle [0,\;1]}$ на классы эквивалентности, каждый из которых имеет счётную мощность, но их количество имеет мощность континуума. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора). Тогда полученное множество ${\displaystyle E}$ представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть ${\displaystyle E}$ счётное число раз на все рациональные числа из интервала ${\displaystyle [-1,1]}$, то объединение будет содержать весь отрезок ${\displaystyle [0,1],}$ но при этом оно будет содержаться в отрезке ${\displaystyle [-1,2]}$. При этом «сдвинутые копии» множества ${\displaystyle E}$ не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения ${\displaystyle \sim }$ и ${\displaystyle E}$.

Предположим, что ${\displaystyle E}$ измеримо по Лебегу, тогда возможны 2 варианта.

---