Основная теорема о вычетах

---

Основна́я теоре́ма о вы́четах — мощный инструмент для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Формулировка: если функция ${\displaystyle f}$ аналитична в некоторой замкнутой односвязной области ${\displaystyle {\overline {G}}\subset \mathbb {C} }$, за исключением конечного числа особых точек ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$, из которых ни одна не принадлежит граничному контуру ${\displaystyle \partial G}$, то справедлива следующая формула:

где ${\displaystyle \mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f}$ — вычет функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle a_{k}}$.

Обход контура ${\displaystyle \partial G}$ производится против часовой стрелки. Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно аналитически продолжить интегрируемую вещественную функцию на комплексную плоскость и найти её вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав её правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

возникает в теории вероятностей при расчёте характеристической функции распределения Коши и не поддаётся вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру ${\displaystyle C}$, указанному на рисунке (${\displaystyle a>1}$). Интеграл равен

---