Интегральная теорема Коши

---

Пусть ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ — область, а функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в ${\displaystyle D}$ и непрерывна в замыкании ${\displaystyle {\overline {D}}}$. Тогда для некоторой односвязной области ${\displaystyle A\subset \mathbb {C} ,}$ и для любой замкнутой жордановой кривой ${\displaystyle \Gamma \subset A}$ справедливо соотношение ${\displaystyle \oint \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0}$

Приведем доказательство, когда область ${\displaystyle D}$ односвязна, а производная ${\displaystyle f}$ непрерывна. Из уравнений Коши — Римана следует, что дифференциальная форма ${\displaystyle f(z)\,dz}$ замкнута. Пусть теперь ${\displaystyle \Gamma }$ — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции ${\displaystyle f(z)}$, ограничивающий область ${\displaystyle D}$. Тогда по теореме Стокса имеем:

Можно доказать и без дополнительных предположений о непрерывности производной. Идея доказательства в том, что достаточно установить существование первообразной у дифференциальной формы ${\displaystyle f(z)dz}$. Для этого достаточно доказать, что интеграл по любому прямоугольнику с параллельными координатным осям сторонами равен нулю.

---