Теорема Стокса

---

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Пусть на ориентируемом многообразии ${\displaystyle M}$ размерности ${\displaystyle n}$ заданы положительно ориентированное ограниченное ${\displaystyle p}$-мерное подмногообразие ${\displaystyle \sigma }$ (${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant n}$) и дифференциальная форма ${\displaystyle \omega }$ степени ${\displaystyle p-1}$ класса ${\displaystyle C^{1}}$. Тогда если граница подмногообразия ${\displaystyle \partial \sigma }$ положительно ориентирована, то

где ${\displaystyle d\omega }$ обозначает внешний дифференциал формы ${\displaystyle \omega }$.

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности — так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологиями де Рама и гомологиями циклов многообразия ${\displaystyle M}$.

Пусть дана кривая ${\displaystyle l}$ (одномерная цепь), ориентированно направленная от точки ${\displaystyle a}$ к точке ${\displaystyle b}$, в многообразии произвольной размерности. Форма ${\displaystyle \omega }$ нулевой степени класса ${\displaystyle C^{1}}$ — это дифференцируемая функция ${\displaystyle f}$. Тогда формула Стокса записывается в виде

---