Парадокс Банаха — Тарского

---

Парадокс Ба́наха — Та́рского (также называется парадоксом удвоения шара и парадоксом Хаусдо́рфа — Банаха — Тарского) — теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.

Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число (не обязательно связных) попарно непересекающихся частей, передвинуть их и составить из них второе (в промежуточном положении части могут пересекаться, а в начальном и конечном не могут).

Более точно, два множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ являются равносоставленными, если их можно представить как конечное объединение попарно непересекающихся подмножеств ${\displaystyle A=\bigcup _{i}^{n}A_{i}}$, ${\displaystyle B=\bigcup _{i}^{n}B_{i}}$ так, что для каждого ${\displaystyle i}$ подмножество ${\displaystyle A_{i}}$ конгруэнтно ${\displaystyle B_{i}}$.

Любые два ограниченных подмножества трёхмерного евклидова пространства с непустой внутренностью являются равносоставленными.

Ввиду того, что вывод этой теоремы может показаться неправдоподобным, она иногда используется как довод против принятия аксиомы выбора, которая существенно используется при построении такого разбиения. Принятие подходящей альтернативной аксиомы позволяет доказать невозможность указанного разбиения, не оставляя места для этого парадокса.

Удвоение шара, хотя и кажется весьма подозрительным с точки зрения повседневной интуиции (в самом деле, нельзя же из одного апельсина сделать два при помощи одного только ножа), тем не менее не является парадоксом в логическом смысле этого слова, поскольку не приводит к логическому противоречию наподобие того, как к логическому противоречию приводит так называемый парадокс брадобрея или парадокс Рассела.

---