Родился в 1770 году, происходил из древней польской шляхетской фамилии Полетик, которую отец его, Герасим Иванович, протоиерей в селе Боровичи (позднее Черниговской губернии), женатый на дочери войскового товарища Семёна Пригары, переменил и стал называться Политковским. Кроме Гавриила Герасимовича, он имел ещё троих сыновей, из которых Фёдор был профессором Московского университета.
С 27 августа 1785 года воспитывался в Дворянской университетской гимназии, затем, с 30 июня 1786 года, — в Московском университете, откуда 13 ноября 1791 года поступил каптенармусом в лейб-гвардии Преображенский полк.
Выйдя в отставку подпоручиком 1 января 1792 года, через месяц определился в Экспедицию о государственных доходах, а 21 мая 1795 года перешёл секретарём в Медицинскую коллегию. Со вступлением на престол Павла I, Политковский, пожалованный в коллежские асессоры, был 10 января 1797 года определён секретарём для внутренних дел в Совет Его Величества, 28 января 1798 года произведён в надворные советники, через год — в коллежские советники, 17 декабря того же 1799 года — в статские советники, причём, сверх занимаемой им должности, ему было приказано состоять при государственном казначее бароне А. И. Васильеве.
9 июля 1802 года он был назначен обер-прокурором во временный Апелляционный департамент Сената, причём ему поручен был надзор за канцеляриями двух комитетов, учрежденных для обозрения всеподданнейших прошений на решения Сената; за успешное исполнение этого поручения он получил от императора Александра I бриллиантовый перстень. 15 февраля 1808 года Политковский был назначен управляющим 3-й (Медицинской) Экспедицией при Министерстве внутренних дел, с пожалованием в действительные статские советники, вскоре получил орден Святой Анны 1-й степени и бриллиантовую табакерку с вензелем; 7 сентября 1811 года он переведён на должность директора Общей канцелярии Министерства полиции, а 1 февраля 1817 года назначен Ярославским гражданским губернатором. Наконец, 19 февраля 1820 года Политковский был произведён в тайные советники и пожалован в звание сенатора с повелением присутствовать во II Отделении 5-го департамента Сената.
Уволенный в апреле 1824 года в отпуск на 6 месяцев для поправления здоровья, Политковский уже не возвратился в Петербург: он умер, проездом в Ярославль, 31 августа 1824 года в селе Сменцове Мышкинского уезда Ярославской губернии.
С 1801 года Политковский состоял членом Вольного экономического общества, а затем был избран членом Попечительного комитета Человеколюбивого общества и членом Совета Российско-Американской компании (1820—1824). По отзыву Ф. Ф. Вигеля, Политковский был «человек умный, тонкий, проворный» и отличался бескорыстием.