Принцип взрыва
В классической логике, интуиционистской логике и подобных логических системах, используется принцип взрыва (лат. ex falso [sequitur] quodlibet, «из ложности [следует] что угодно»; или лат. ex contradictione [sequitur] quodlibet), или принцип Псевдо-Скотуса (ложно приписываемый Дунсу Скотусу) — закон, согласно которому, любое утверждение может быть доказано из противоречия[1]. То есть, после утверждения противоречия, из него можно вывести любое утверждение (включая их отрицания); что также известно как дедуктивный взрыв[2][3].
Доказательство этого принципа было впервые приведено французским философом XII века Вильгельмом Суассонским[англ.][4]. Из-за принципа взрыва, существование противоречия (непротиворечивости), в формальной аксиоматической системе, является катастрофическим и имеет огромную проблему; поскольку любое утверждение может быть доказано, это делает тривиальными понятия истинности и ложности[5]. Примерно на рубеже 20-го века, обнаружение противоречий, таких как парадокс Рассела, в основах математики, таким образом, поставило под угрозу всю структуру и суть математики. Такие математики, как Готтоб Фреге, Эрнст Цермело, Абрахам Френкель и Торальф Скулем, приложили много усилий к пересмотру теории множеств, с целью устранения данных противоречий, в результате чего появилась современная теория множеств Цермело-Френкеля.
В качестве демонстрации этого принципа, рассмотрим два противоречивых утверждения — «Все лимоны жёлтые» и «Не все лимоны жёлтые» — и предположим, что и то, и другое истинно. В этом случае, можно доказать что угодно, например, утверждение «единороги существуют», используя следующий аргумент:
В качестве другого решения этих вопросов и проблем, некоторые математики разработали альтернативные теории математической логики, называемые паранепротиворечивые логики, которые устраняют принцип взрыва[5]. Благодаря этому, некоторые противоречивые утверждения могут быть подтверждены без влияния на другие доказательства.
В математической логике, принцип взрыва можно выразить схематически, следующим образом: Для любых высказываний «P» и «Q», если «P» и «не-P» оба истинны, то логически следует, что истинно и «Q».
Ниже приводится формальное доказательство данного принципа с использованием символически математической логики: