Проективная группа

---

Проективная группа — группа преобразований проективного пространства, индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями — они обобщают проективные преобразования проективной плоскости. С матричной точки зрения проективная группа — это группа всех невырожденных матриц с точностью до скалярных матриц.

Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle F}$ (или, более обще, над телом ${\displaystyle K}$), а ${\displaystyle GL(V)}$ — его полная линейная группа, то есть группа всех обратимых линейных преобразований. Эта группа коммутирует с гомотетиями ${\displaystyle Z(V)}$ пространства ${\displaystyle V}$ (умножениями на ненулевые константы поля ${\displaystyle F}$), а потому её элементы индуцируют преобразования проективного пространства ${\displaystyle \mathbb {P} (V)=V/Z(V)}$ (факторпространство по действию группы ${\displaystyle Z(V)}$).

Некоторые из этих индуцированных преобразований действуют на ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ тривиально — это в точности элементы группы гомотетий ${\displaystyle Z(V)\cong F^{*}}$ пространства ${\displaystyle V}$. Проективная группа — это факторгруппа по ядру действия:

Если в пространстве ${\displaystyle V}$ явным образом выбрать координаты, то есть изоморфизм ${\displaystyle V\cong F^{n}}$ для натурального ${\displaystyle n}$, получится

то есть проективная группа является факторгруппой группы невырожденных матриц по подгруппе ненулевых скалярных матриц.

---