Простой многоугольник — это фигура, состоящая из непересекающихся отрезков («сторон»), соединённых попарно с образованием замкнутого пути. Если стороны пересекаются, многоугольник не является простым. Часто слово «простой» опускается из вышеприведённого определения.
Обычно требуется, чтобы две стороны, сходящиеся в вершине, не образовывали развёрнутый (180°) угол. В противном случае лежащие на одной прямой стороны считаются частью одной стороны.
Математики обычно используют термин «многоугольник» только для фигур, образованных отрезками, не включая внутреннюю область. Однако некоторые используют термин «многоугольник» для обозначения плоской фигуры ограниченной замкнутым путём, состоящим из конечной последовательности отрезков (то есть замкнутой ломаной). В зависимости от используемого определения граница может быть или не быть частью многоугольника[1].
Простые многоугольники называются также жордановыми многоугольниками, поскольку может быть использована теорема Жордана для доказательства, что такие многоугольники разбивают плоскость на две области, внутри и снаружи. Многоугольник на плоскости является простым тогда и только тогда, когда он топологически эквивалентнен окружности. Его внутренность топологически эквавалентна кругу.
Если набор непересекающихся отрезков образует границу области на плоскости, топологически эквивалентную кругу, то эта граница называется слабо простым многоугольником[2]. На рисунке слева ABCDEFGHJKLM является слабо простым многоугольником согласно определению. Синим цветом отражена область, для которой слабо простой многоугольник является границей. Этот тип слабо простых многоугольников может возникнуть в компьютерной графике и в системах CAD в качестве компьютерного представления многоугольных областей с полостями — для каждой полости создаётся «разрез» для соединения с внешней границей. Согласно рисунку ABCM является внешней границей плоской области с полостью FGHJ. Разрез ED соединяет полость с внешним контуром и проходится дважды в представлении слабо простого многоугольника.
Альтернативное и более общее определение слабых простых многоугольников — предел последовательности простых многоугольников одного и того же комбинаторного типа, которые сходятся по расстоянию Фреше[3]. Это формализует идею, что элементам многоугольника разрешено касание, но не пересечение. Однако этот тип слабо простых многоугольников не обязательно образует границу области, так как «внутренность» может быть пустой. Например, на рисунке цепочке ABCBA является слабо простым многоугольником — его можно рассматривать как предел «выжимания» многоугольника ABCFGHA.