Соответствие Карри — Ховарда

---

Соответствие Карри — Ховарда (изоморфизм Карри — Ховарда, англ. formulæ-as-types interpretation) — наблюдаемая структурная эквивалентность между математическими доказательствами и программами, которая может быть формализована в виде изоморфизма между логическими системами и типизированными исчислениями.

Хаскелл Карри^[1] и Уильям Ховард^[en][2] заметили, что построение конструктивного доказательства похоже на описание вычислений, а высказывания конструктивной логики по своей структуре схожи с типами вычисляемых выражений — программ для вычислительной машины. Ранние проявления этой связи — интерпретация Брауэра — Гейтинга — Колмогорова^[en] (1925), задающая семантику интуиционистской логики через вычисления доказательств, и теория реализуемости^[en] Клини (1945).

Соответствие Карри — Ховарда в современном представлении не ограничивается какой-то одной логикой или системой типов. Например, логика высказываний соответствует простому типизированному λ-исчислению, логика высказываний второго порядка^[en] — полиморфному λ-исчислению, исчисление предикатов — λ-исчислению с зависимыми типами.

В рамках изоморфизма Карри — Ховарда следующие структурные элементы рассматриваются как эквивалентные:

Простейшим примером соответствия Карри — Ховарда может служить изоморфизм между простым типизированным λ-исчислением и фрагментом интуиционистской логики высказываний, включающим только импликацию. Например, тип ${\displaystyle (P\rightarrow Q\rightarrow R)\rightarrow (P\rightarrow Q)\rightarrow P\rightarrow R}$ в простом типизированном лямбда-исчислении соответствует высказыванию ${\displaystyle (P\Rightarrow (Q\Rightarrow R))\Rightarrow ((P\Rightarrow Q)\Rightarrow (P\Rightarrow R))}$ логики высказываний. Для доказательства этого высказывания необходимо сконструировать терм указанного типа (если это удаётся сделать, то про тип говорят, что он обитаем или населён), в данном случае можно предъявить нужный терм: ${\displaystyle \lambda fgx\rightarrow fx(gx)}$, и это значит, что тавтология ${\displaystyle (P\Rightarrow (Q\Rightarrow R))\Rightarrow ((P\Rightarrow Q)\Rightarrow (P\Rightarrow R))}$ доказана.

---