Субриманово многообразие

---

Субри́маново многообра́зие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие. Суть обобщения состоит в том, что скалярное произведение задается не на касательных пространствах целиком, а только на некоторых их подпространствах (как правило, фиксированной размерности).

Тем самым, в субримановом многообразии понятие длины определено не для всех кривых, а только для так называемых горизонтальных кривых (тех, которые в каждой своей точке касаются соответствующего подпространства). Возникающая таким образом внутренняя метрика субриманова многообразия называется метрикой Карно-Каратеодори.

Теорема Рашевского — Чоу утверждает, что для любых двух точек линейно связного субриманова многообразия найдется кусочно-гладкая горизонтальная кривая, соединяющая эти точки. Эта теорема была доказана независимо советским математиком П. К. Рашевским (1938)^[1] и китайским математиком Чоу (Wei-Liang Chow, 1939)^[2].

В этой теореме условие гладкости вполне неголономного распределения может быть ослаблено и заменено условием лишпицевости^[3].

Каждое субриманово многообразие обладает метрикой, определённой по аналогии с римановым многообразием формулой

где инфимум берётся по всевозможным кусочно-гладким горизонтальным кривым, соединияющим точки x и y, то есть ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$, ${\displaystyle \gamma (0)=x}$, ${\displaystyle \gamma (1)=y}$. Определённая таким образом метрика ${\displaystyle d(x,y)}$ называется метрикой Карно-Каратеодори.

---