Функциональная производная

---

В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.

Существуют два основных вида функциональных производных, соответствующих общему определению производной Фреше и производной Гато функции на банаховом пространстве. На практике они зачастую не различаются.

Пусть ${\displaystyle F}$ — некоторый функционал, то есть функция, определённая на некотором множестве функций. Значение функционала ${\displaystyle F}$ на функции ${\displaystyle \phi }$ обозначают ${\displaystyle F[\phi ]}$. Его производная Гато (производная по направлению) есть предел (если он существует) выражения ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\phi +\varepsilon \delta \phi ]-F[\phi ]}{\varepsilon }}}$. Здесь ${\displaystyle \delta \phi }$ — некоторая функция из области определения ${\displaystyle F}$. Отметим, что такая производная, вообще говоря, зависит от выбора функции ${\displaystyle \delta \phi }$. В этом смысле ситуация вполне аналогичная конечномерной. Например, функция ${\displaystyle y=|x|}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x=0}$ справа и слева, но эти односторонние производные различны, а в обычном смысле эта функция в 0 не дифференцируема.

Гораздо чаще в приложениях возникает производная функционала, аналогичная классической конечномерной производной и являющаяся частным случаем производной Гато. Не давая общего определения, рассмотрим типичный пример: поиск экстремума функционала на множестве траекторий, проходящих через две заданные точки. Такая задача возникает при исследовании задач классической механики с помощью принципа наименьшего действия, подобного же типа задача о нахождении фигуры максимальной площади с заданным периметром и т. п.

---