Численное дифференцирование

---

Численное дифференцирование — совокупность методов приближённого вычисления значения производной некоторой функции, заданной таблично или имеющей сложное аналитическое выражение.

Производная функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ определяется с помощью предела:

В числителе дроби под знаком предела стоит конечная разность функции ${\displaystyle f}$, в знаменателе — шаг этой разности. Поэтому простейшим методом аппроксимации производной является использование конечных разностей функции ${\displaystyle f}$ с некоторым достаточно малым шагом ${\displaystyle h}$. Например, выражение

приближает производную функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ с точностью до величины, пропорциональной ${\displaystyle h}$. Использование выражения

позволяет сократить ошибку приближения до величины, пропорциональной ${\displaystyle h^{2}}$.

Если известны значения функции ${\displaystyle f}$ в некоторых узлах ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N}}$, то можно построить интерполяционный полином ${\displaystyle P_{N}(x)}$ (например, в форме Лагранжа или в форме Ньютона) и приближенно положить

---