Чисто мнимое число

---

Чи́сто мни́мое число́ — комплексное число с нулевой действительной частью. Иногда только такие числа называются мнимыми числами, но этот термин также используется для обозначения произвольных комплексных чисел с ненулевой мнимой частью^[1]. Термин «мнимое число» предложил в XVII веке французский математик Рене Декарт^[2], изначально этот термин носил уничижительный смысл, поскольку такие числа считались вымышленными или бесполезными, и лишь после работ Леонарда Эйлера и Карла Гаусса это понятие получило признание в научном сообществе.

Пусть ${\displaystyle z=x+iy}$ — комплексное число, где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — действительные числа. Числа ${\displaystyle x=\Re (z)}$ или ${\displaystyle \operatorname {Re} ~z}$ и ${\displaystyle y=\Im (z)}$ или ${\displaystyle \operatorname {Im} ~z}$ называются соответственно действительной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями ${\displaystyle z}$.

Впервые мнимые числа упоминает в своих трудах древнегреческий математик и инженер Герон Александрийский^[3][4], но правила осуществления арифметических операций (в частности, умножения) над ними ввёл Рафаэль Бомбелли в 1572 году. Концепция Бомбелли появилась раньше аналогичных работ Джероламо Кардано. В XVI—XVII веках мнимые числа рассматривались большей частью научного сообщества как фиктивные или бесполезные (аналогично тому, как воспринималось в свое время понятие нуля). В частности, Рене Декарт, упоминая о мнимых числах в своём фундаментальном труде «Геометрия», использовал термин «мнимый» в уничижительном смысле^[5][6]. Использование мнимых чисел не было широко распространено до появления работ Леонарда Эйлера (1707—1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777—1855). Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости было впервые описано Каспаром Весселем (1745—1818)^[7].

В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон расширил идею оси мнимых чисел на плоскости до четырёхмерного пространства кватернионов, в котором три измерения аналогичны мнимым числам в комплексном поле.

С развитием в теории факторколец концепции кольца многочленов понятие мнимого числа стало более содержательным и получило дальнейшее развитие в понятии j — бикомплексных чисел^[en], у которых квадрат равен +1. Эта идея появилась в статье английского математика Джеймса Кокла^[en] 1848 года^[8].

---