Эллиптическая кривая

---

Эллипти́ческая крива́я над полем ${\displaystyle K}$ — неособая кубическая кривая на проективной плоскости над ${\displaystyle {\hat {K}}}$ (алгебраическим замыканием поля ${\displaystyle K}$), задаваемая уравнением 3-й степени с коэффициентами из поля ${\displaystyle K}$ и «точкой на бесконечности». В подходящих аффинных координатах её уравнение приводится к виду^[1][2]

в котором используется исторически сложившееся обозначение коэффициентов ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{6}}$.

Древнейшим дошедшим до нашего времени источником, в котором рассматриваются кубические кривые, является «Арифметика» древнегреческого математика Диофанта. В этой работе ставится задача найти рациональные и нетривиальные решения уравнения ${\displaystyle y(6-y)=x^{3}-x}$. Диофант решает эту задачу при помощи подстановки ${\displaystyle x=3y-1}$.

---