Эндоморфизм Фробениуса

---

Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики ${\displaystyle p}$, задаётся формулой ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$. В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом, однако в общем случае это не так.

Пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо простой характеристики ${\displaystyle p}$ (в частности, таким является любое целостное кольцо ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца ${\displaystyle R}$ определяется формулой ${\displaystyle F(x)=x^{p}}$. Эндоморфизм Фробениуса действительно является гомоморфизмом колец, так как ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$ (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле бинома Ньютона и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на ${\displaystyle p}$).

Если ${\displaystyle \varphi :R\to S}$ — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики ${\displaystyle p}$, то ${\displaystyle \varphi (x^{p})=(\varphi (x))^{p}}$, то есть: ${\displaystyle \varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi }$.

---