Аффинная симметрическая группа

Аффинным симметрическим группа представляет собой математическую структуру , которая описывает симметрии числовой прямой и правильной треугольной тесселяции плоскости, а также связанные с более двухмерных объектов. Это бесконечное расширение симметрической группы , которая состоит из всех перестановок (перестановок) конечного множества. В дополнение к геометрическому описанию аффинная симметрическая группа может быть определена как набор перестановок целых чисел (..., −2, −1, 0, 1, 2, ...), которые в определенном смысле являются периодическими. , или в чисто алгебраических терминах как группа с определенными образующими и соотношениями. Эти различные определения позволяют распространить многие важные свойства конечной симметрической группы на бесконечную среду и изучаются как часть областей комбинаторики и теории представлений .

Определения [ править ]

Аффинная симметрическая группа может быть эквивалентно определена как абстрактная группа с помощью образующих и отношений или в терминах конкретных геометрических и комбинаторных моделей.

Алгебраическое определение [ править ]

В терминах образующих и соотношений аффинная симметрическая группа порождается множеством${\ displaystyle {\ widetilde {S}} _ {n}}$

из n элементов, удовлетворяющих следующим соотношениям: когда ,${\displaystyle n\geq 3}$

1. ${\displaystyle s_{i}^{2}=1}$(образующие - инволюции ),
2. ${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}}$если j не один из , и${\displaystyle i-1,i,i+1}$
3. ${\displaystyle s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1}}$.

В приведенных выше отношениях индексы берутся по модулю n , так что третье отношение учитывается как частный случай . (Второе и третье отношение иногда называют отношениями кос .) Когда аффинная симметрическая группа - это бесконечная диэдральная группа, порожденная двумя элементами, подчиненными только отношениям . ^[1]${\displaystyle s_{0}s_{n-1}s_{0}=s_{n-1}s_{0}s_{n-1}}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{2}}$${\displaystyle s_{0},s_{1}}$${\displaystyle s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=1}$

Это определение наделяет структурой группы Кокстера с генерирующим набором Кокстера. Для его диаграмма Кокстера – Дынкина представляет собой n -цикл, а для нее состоит из двух узлов, соединенных ребром с меткой . ^[2]${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \infty }$

Геометрическое определение [ править ]

В евклидовом пространстве с координатами множество точек V , удовлетворяющих уравнению, образует (гипер) плоскость ( ( n - 1) -мерное подпространство). Для каждой пары различных элементов я и J из и любого целого к , множество точек в V , которые удовлетворяют условие образует плоскость в V , и является уникальным отражением от V , что исправления этой плоскости. Тогда аффинная симметрическая группа может быть геометрически реализована как совокупность всех отображений из V${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}=0}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle x_{i}-x_{j}=k}$самому себе, которые возникают при составлении нескольких из этих отражений. ^[3]

Внутри V , то тип А корневая решетка Л есть подмножество точек с целыми координатами, то есть, это множество всех целочисленных векторов , такие , что . Каждое из отражений сохраняет эту решетку, а значит, решетка сохраняется для всей группы. В самом деле, можно определить как группу из жестких преобразований из V , сохраняющих решетку Л .${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle a_{1}+\ldots +a_{n}=0}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

Эти отражающие плоскости делят пространство V на конгруэнтные симплексы , называемые нишами . ^[4] Ситуация, когда показана справа; в этом случае решетка корней представляет собой треугольную решетку, а отражающие линии делят плоскость на равносторонние треугольные ниши. (Для большего n альковы не являются обычными симплексами.)${\displaystyle n=3}$

Для перехода между геометрическим и алгебраическим определениями зафиксируйте нишу и рассмотрите n гиперплоскостей, образующих ее границу. Например, существует единственный альков ( фундаментальная ниша ) , состоящий из точек таким образом, что , которая ограничена гиперплоскостями , ..., и . (Это проиллюстрировано в случае справа.) Например , можно идентифицировать сквозное отражение с помощью генератора Кокстера , а также идентифицировать сквозное отражение с помощью генератора . ^[4]${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{1}\geq x_{2}\geq \dots \geq x_{n}\geq x_{1}-1}$${\displaystyle x_{1}-x_{2}=0}$${\displaystyle x_{2}-x_{3}=0}$${\displaystyle x_{1}-x_{n}=1}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$${\displaystyle x_{i}-x_{i+1}=0}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle x_{1}-x_{n}=1}$${\displaystyle s_{0}=s_{n}}$

Комбинаторное определение [ править ]

Элементы аффинной симметрической группы могут быть реализованы как группа периодических перестановок целых чисел. В частности, скажем, что биекция - это аффинная перестановка, если для всех целых x и . (Это является следствием первого свойства, что все числа должны быть различными по модулю n .) Такая функция однозначно определяется ее оконной нотацией , и поэтому аффинные перестановки также могут быть идентифицированы с кортежами целых чисел, которые содержат по одному элементу из каждого сравнения. класс по модулю n и сумма к . ^[5]${\displaystyle u\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$${\displaystyle u(x+n)=u(x)+n}$${\displaystyle u(1)+u(2)+\ldots +u(n)=1+2+\ldots +n}$${\displaystyle u(1),\ldots ,u(n)}$ ${\displaystyle [u(1),\ldots ,u(n)]}$${\displaystyle [u(1),\ldots ,u(n)]}$${\displaystyle 1+2+\ldots +n}$

Чтобы преобразовать комбинаторное и алгебраическое определения, можно отождествить генератор Кокстера с аффинной перестановкой, которая имеет оконную нотацию , а также отождествить генератор с аффинной перестановкой . В более общем смысле, каждое отражение (то есть сопряжение одного из генераторов Кокстера) можно однозначно описать следующим образом: для различных целых чисел i , j in и произвольного целого k оно отображает i в j - kn , отображает j в i + kn , и фиксирует все входные данные, не совпадающие с i или j${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle [1,2,\ldots ,i-1,i+1,i,i+2,\ldots ,n]}$${\displaystyle s_{0}=s_{n}}$${\displaystyle [0,2,3,\ldots ,n-2,n-1,n+1]}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$по модулю п . ^[6] (С точки зрения геометрического определения это соответствует отражению от плоскости . Соответствие между геометрическим и комбинаторным представлениями для других элементов обсуждается ниже .)${\displaystyle x_{i}-x_{j}=k}$

Представление в виде матриц [ править ]

Можно представить аффинные перестановки как бесконечные периодические матрицы перестановок . ^[7] Если это аффинная перестановка, один помещает элемент 1 в позицию в бесконечной сетке для каждого целого числа i , а все остальные элементы равны 0. Так как u является биекцией, результирующая матрица содержит ровно одну единицу в каждой строке и столбец. Условие периодичности на карте u гарантирует, что запись в позиции равна записи в позиции для каждой пары целых чисел . Например, часть матрицы для аффинной перестановки${\displaystyle u:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$${\displaystyle (i,u(i))}$${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a+n,b+n)}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle [2,0,4]\in {\widetilde {S}}_{3}}$ показан ниже, с условием, что единицы заменены на •, нули опущены, номера строк увеличиваются сверху вниз, номера столбцов увеличиваются слева направо, а граница поля состоит из строк и столбцов 1, 2, 3 нарисован:

Связь с конечной симметричной группой [ править ]

Аффинная симметрическая группа содержит конечную симметрическую группу как подгруппу и как фактор .${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$

Как подгруппа [ править ]

Существует канонический способ выбрать подгруппу , изоморфную конечной симметрической группе . С точки зрения алгебраического определения, это подгруппа, порожденная (за исключением простого отражения ). Геометрически это соответствует подгруппе преобразований, которые фиксируют начало координат, в то время как комбинаторно это соответствует обозначениям окна для которых (то есть, в которых обозначение окна является однострочным обозначением конечной перестановки). ^{[8] [3]}${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n-1}}$${\displaystyle s_{0}=s_{n}}$${\displaystyle \{u(1),\ldots ,u(n)\}=\{1,2,\ldots ,n\}}$

Если это окно обозначение элемента этой стандартной копии , его действия на гиперплоскость V в задаются перестановками координат: . (В этой статье геометрическое действие перестановок и аффинных перестановок находится справа; таким образом, если u и v - две аффинные перестановки, действие uv на точку задается сначала применением u , а затем применением v .)${\displaystyle u=[u(1),u(2),\ldots ,u(n)]}$${\displaystyle S_{n}\subset {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\cdot u=(x_{u(1)},x_{u(2)},\ldots ,x_{u(n)})}$

Также есть много нестандартных копий, содержащихся в . Геометрическая конструкция состоит в том, чтобы выбрать любую точку a в Λ (то есть целочисленный вектор, сумма координат которого равна 0); подгруппа из изометрий, фиксирующих изоморфно . Аналогична комбинаторная конструкция выбрать любое подмножество A из который содержит один элемент из каждого класса сопряженности по модулю п и чьи элементы суммы к ; подгруппа из аффинных перестановок , которые стабилизируют A изоморфна .${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle ({\widetilde {S}}_{n})_{a}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 1+2+\ldots +n}$${\displaystyle ({\widetilde {S}}_{n})_{A}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$

Как частное [ править ]

Существует простое отображение (технически, гомоморфизм сюръективной группы ) π from на конечную симметрическую группу . С точки зрения комбинаторного определения, это сокращение оконных элементов по модулю n до элементов , оставляя однострочную запись перестановки. Изображение аффинной перестановки ¯u называется основной перестановкой из ц .${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \pi (u)}$

Отображение π отправляет генератор Кокстера в перестановку, чьи однострочные обозначения и обозначения цикла - и , соответственно. В терминах генераторов Кокстера это можно записать как .${\displaystyle s_{0}=[0,2,3,4,\ldots ,n-2,n-1,n+1]}$${\displaystyle [n,2,3,4,\ldots ,n-2,n-1,1]}$${\displaystyle (1\;n)}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \pi (s_{0})=s_{1}s_{2}\cdots s_{n-2}s_{n-1}s_{n-2}\cdots s_{2}s_{1}}$

Ядро π является множеством аффинных перестановок, базовая перестановкой является идентичностью . Оконные обозначения таких аффинных перестановок имеют вид , где - целочисленный вектор такой, что , то есть где . Геометрически это ядро ​​состоит из трансляций , то есть изометрий, которые сдвигают все пространство V, не поворачивая и не отражая его. В злоупотреблении обозначениями символ Λ используется в этой статье для всех трех из этих множеств (целочисленные векторы в V${\displaystyle [1-a_{1}\cdot n,2-a_{2}\cdot n,\ldots ,n-a_{n}\cdot n]}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=0}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in \Lambda }$, аффинные перестановки с базовой перестановкой тождества и переводов); во всех трех случаях операция естественной группы превращает Λ в абелеву группу , свободно порожденную n - 1 векторами .${\displaystyle \{(1,-1,0,\ldots ,0),(0,1,-1,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,1,-1)\}}$

Связь между геометрическим и комбинаторным определениями [ править ]

Подгруппа Λ - нормальная подгруппа в , и одна из них имеет изоморфизм${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

между и полупрямым произведением конечной симметрической группы с Λ , где действие группы на Λ осуществляется перестановкой координат. Следовательно, идентифицируя конечную симметрическую группу как ее стандартную копию в , мы получаем, что каждый элемент u из может быть реализован однозначно как произведение где - конечная перестановка и .${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle u=r\cdot t}$${\displaystyle r\in S_{n}}$${\displaystyle t\in \Lambda }$

Эта точка зрения допускает прямой перевод между комбинаторным и геометрическим определениями : если написать где, а затем аффинная перестановка u соответствует жесткому движению V, определяемому формулой ${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle [u(1),\ldots ,u(n)]=[r_{1}-a_{1}\cdot n,\ldots ,r_{n}-a_{n}\cdot n]}$${\displaystyle r=[r_{1},\ldots ,r_{n}]=\pi (u)}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in \Lambda }$

Более того, как и любая аффинная группа Кокстера, аффинная симметрическая группа действует транзитивно и свободно на множестве альковов. Следовательно, сделав произвольный выбор алькова , можно поставить группу во взаимно однозначное соответствие с альковами: элемент идентичности соответствует , а каждый другой элемент группы g соответствует алькову, который является изображением под действием из г . Это обозначение показано справа.${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A=A_{0}\cdot g}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{3}}$

Пример: n = 2 [ изменить ]

Алгебраически это бесконечная группа диэдра , порожденная двумя образующими, подчиненными соотношениям . Любой другой элемент группы может быть записан как чередование копий и .${\displaystyle {\widetilde {S}}_{2}}$${\displaystyle s_{0},s_{1}}$${\displaystyle s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=1}$${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle s_{1}}$

Комбинаторно аффинная перестановка имеет оконную нотацию , соответствующую биекции для каждого целого числа k . Аффинная перестановка имеет оконную нотацию , соответствующую биекции для каждого целого числа k . Остальные элементы имеют следующие обозначения окон:${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle [2,1]}$${\displaystyle 2k\mapsto 2k-1,2k-1\mapsto 2k}$${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle [0,3]}$${\displaystyle 2k\mapsto 2k+1,2k+1\mapsto 2k}$

• ${\displaystyle \overbrace {s_{0}s_{1}\cdots s_{0}s_{1}} ^{2k\,{\text{factors}}}=[1+2k,2-2k]}$,
• ${\displaystyle \overbrace {s_{1}s_{0}\cdots s_{1}s_{0}} ^{2k\,{\text{factors}}}=[1-2k,2+2k]}$,
• ${\displaystyle \overbrace {s_{0}s_{1}\cdots s_{0}} ^{2k+1\,{\text{factors}}}=[2+2k,1-2k]}$,
• ${\displaystyle \overbrace {s_{1}s_{0}\cdots s_{1}} ^{2k+1\,{\text{factors}}}=[2-2(k+1),1+2(k+1)]}$.

Геометрически пространство V представляет собой прямую с уравнением на евклидовой плоскости . Решетка корней внутри V состоит из пар для интеграла a . Генератор Кокстера воздействует на V путем отражения от линии (то есть от начала координат); генератор воздействует на V путем отражения через линию (то есть через точку . Естественно отождествить линию V с реальной линией , отправив точку на действительное число 2 x${\displaystyle x+y=0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (a,-a)}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle x=y+1}$${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle (x,-x)}$. При таком отождествлении решетка корней состоит из четных целых чисел; фундаментальная ниша - интервал [0, 1] ; элемент действует путем сдвига на k для любого целого k ; и отражение отражается через точку - k для любого целого k .${\displaystyle (s_{1}s_{0})^{k}}$${\displaystyle s_{1}(s_{0}s_{1})^{k}}$

Статистика перестановок и шаблоны перестановок [ править ]

Многие статистические данные перестановок и другие особенности комбинаторики конечных перестановок могут быть распространены на аффинный случай.

Спуски, длина и инверсии [ править ]

Длина элемента г из Кокстера группы G есть наименьшее число к такое , что г может быть записана в виде произведения из к кокстеровских образующих G . ^[9]${\displaystyle \ell (g)}$${\displaystyle g=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}}$

Геометрически длина элемента g в - это количество разделяющих отражающих гиперплоскостей и , где - фундаментальная ниша (симплекс, ограниченный отражающими гиперплоскостями генераторов Кокстера ). (Фактически, то же самое верно для любой аффинной группы Кокстера.) ^[10]${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{0}\cdot g}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n-1}}$

Комбинаторно длина аффинной перестановки кодируется в терминах подходящего понятия инверсий . В частности, один имеет для аффинной перестановки у , что ^[11]

В качестве альтернативы, это количество классов эквивалентности пар таких, что и в соответствии с отношением эквивалентности if для некоторого целого числа k .${\displaystyle (i,j)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle u(i)>u(j)}$${\displaystyle (i,j)\equiv (i',j')}$${\displaystyle (i-i',j-j')=(kn,kn)}$

Производящая функция для длины в это ^{[12] [13]}${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

Точно так же можно определить аффинный аналог спуска в перестановках: скажем, что аффинная перестановка u имеет спуск в позиции i, если . (По периодичности u имеет спуск в позиции i тогда и только тогда, когда она имеет спуск в позиции для всех целых k .) ^[14]${\displaystyle u(i)>u(i+1)}$${\displaystyle i+kn}$

Алгебраически спуски соответствуют правым спускам в смысле групп Кокстера; то есть, я является спуском u тогда и только тогда, когда . ^[14] Левые спуски (то есть те индексы i , которые являются спусками обратной аффинной перестановки ; эквивалентно, это значения i, такие что i встречается перед i - 1 в последовательности .${\displaystyle \ell (u\cdot s_{i})<\ell (u)}$${\displaystyle \ell (s_{i}\cdot u)<\ell (u)}$${\displaystyle u^{-1}}$ ${\displaystyle \ldots ,u(-2),u(-1),u(0),u(1),u(2),\ldots }$

Геометрически i является спуском u тогда и только тогда, когда фиксированная гиперплоскость разделяет ниши и .${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{0}\cdot u}$

Поскольку существует только конечное число возможностей для количества спусков аффинной перестановки, но бесконечно много аффинных перестановок, невозможно наивно сформировать производящую функцию для аффинных перестановок по количеству спусков (аффинный аналог многочленов Эйлера ). ^[15] Одно из возможных решений - рассмотреть аффинные спуски (эквивалентные циклическим спускам) в конечной симметрической группе . ^[16] Другой - одновременное рассмотрение длины и количества спусков аффинной перестановки. Производящая функция для этих статистических данных одновременно для всех n равна${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

где des ( w ) - количество спусков аффинной перестановки w, а - q -экспоненциальная функция . ^[17]${\displaystyle \exp(x;q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}(1-q)^{n}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}}$

Тип цикла и длина отражения [ править ]

Любая биекция разделяет целые числа на (возможно, бесконечный) список (возможно, бесконечных) циклов: для каждого целого числа i цикл, содержащий i, представляет собой последовательность, в которой возведение в степень представляет функциональную композицию. Например, аффинная перестановка с окном записи содержит два бесконечных циклов и , а также бесконечное множество конечных циклов для каждого . Циклы аффинной перестановки очевидным образом соответствуют циклам базовой перестановки: в приведенном выше примере с базовой перестановкой${\displaystyle u:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$${\displaystyle (\ldots ,u^{-2}(i),u^{-1}(i),i,u(i),u^{2}(i),\ldots )}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{5}}$${\displaystyle [6,3,2,0,4]}$${\displaystyle (\ldots ,-9,-4,1,6,11,\ldots )}$${\displaystyle (\ldots ,10,9,5,4,0,-1,-6\ldots )}$${\displaystyle (5k+2,5k+3)}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle [1,3,2,5,4]=(1)(23)(45)}$, первый бесконечный цикл соответствует циклу (1), второй соответствует циклу (45), а все конечные циклы соответствуют циклу (23).

Для аффинной перестановки u следующие условия эквивалентны: все циклы u конечны, u имеет конечный порядок , а геометрическое действие u на пространстве V имеет хотя бы одну неподвижную точку. ^[18]

Длина отражения элемента у из наименьшее число к такое , что существуют отражения , такие , что . (В симметричной группе отражения являются транспозициями, а длина отражения перестановки u равна , где - количество циклов u . ^[19] ) В ( Lewis et al., 2019 ) была доказана следующая формула для отражения длина аффинной перестановки u : для каждого цикла u определите вес как целое число k такое, что последовательные элементы, совпадающие по модулю n${\displaystyle \ell _{R}(u)}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{k}}$${\displaystyle u=r_{1}\cdots r_{k}}$${\displaystyle n-c(u)}$${\displaystyle c(u)}$отличаются ровно на kn . (Например, в приведенной выше перестановке первый бесконечный цикл имеет вес 1, а второй бесконечный цикл имеет вес -1; все конечные циклы имеют вес 0.) Сформируйте набор весов цикла u (считая сдвиги того же цикла на кратным n только один раз), и определите нулевое значение как размер наименьшего заданного раздела этого кортежа, чтобы каждая часть суммировалась равной 0. (В приведенном выше примере кортеж равен, а нулевое значение равно 2, поскольку можно взять разбиение .) Тогда длина отражения u равна ${\displaystyle [5,2,0,3]}$ ${\displaystyle \nu (u)}$${\displaystyle (1,-1,0)}$${\displaystyle (1,-1),(0)}$

где - основная перестановка u . ^[20]${\displaystyle \pi (u)}$

Для каждой аффинной перестановки у , есть выбор подгруппы W из таких , что , и в стандартной форме , подразумеваемой этой полупрямому продукт, один имеет . ^[21]${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle W\cong S_{n}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}=W\ltimes \Lambda }$${\displaystyle u=w\cdot t}$${\displaystyle \ell _{R}(u)=\ell _{R}(w)+\ell _{R}(t)}$

Полностью коммутативные элементы и избегание шаблонов [ править ]

Приведенное слово для элемента г группы Кокстера является кортеж из кокстеровских образующих минимально возможной длины такой , что . ^[9] Элемент g называется полностью коммутативным, если можно преобразовать любое сокращенное слово в любое другое, последовательно меняя местами пары коммутирующих множителей. ^[22] Например, в конечной симметрической группе элемент полностью коммутативен, так как два его сокращенных слова и могут быть соединены перестановкой коммутирующих факторов, но не полностью коммутативен, потому что нет способа достичь сокращенного слова, начиная с сокращенное слово${\displaystyle (s_{i_{1}},\ldots ,s_{i_{\ell (g)}})}$${\displaystyle g=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{\ell (g)}}}$${\displaystyle S_{4}}$${\displaystyle 2143=(12)(34)}$${\displaystyle (s_{1},s_{3})}$${\displaystyle (s_{3},s_{1})}$${\displaystyle 3214=(13)(2)(4)}$${\displaystyle (s_{2},s_{1},s_{2})}$${\displaystyle (s_{1},s_{2},s_{1})}$ коммутациями.

Билли, Джокуш и Стэнли (1993) доказали, что в конечной симметрической группе перестановка полностью коммутативна тогда и только тогда, когда она избегает шаблона перестановки 321, то есть тогда и только тогда, когда ее однострочная запись не содержит трехчленного убывающего подпоследовательность. В ( Green, 2002 ) этот результат был распространен на аффинные перестановки: аффинная перестановка u полностью коммутативна тогда и только тогда, когда не существует таких целых чисел , что . ^[а]${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle i<j<k}$${\displaystyle u(i)>u(j)>u(k)}$

Также было показано, что число аффинных перестановок, избегающих одного образца p , конечно, тогда и только тогда, когда p избегает образца 321, ^[24], поэтому, в частности, существует бесконечно много полностью коммутативных аффинных перестановок. Они были пронумерованы по длине в ( Hanusa & Jones 2010 ).

Параболические подгруппы и другие структуры [ править ]

Параболические подгруппы в и их представители класса смежности предлагают богатую комбинаторную структуру. Другие аспекты аффинной симметрической группы, такие как ее порядок Брюа и теория представлений, также могут быть поняты с помощью комбинаторных моделей.${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$

Параболические подгруппы, представители смежных классов [ править ]

Стандартная параболическая подгруппа группы Кокстера является подгруппой , порожденным подмножеством порождающего его Косетера набора. Максимальные параболические подгруппы - это те, которые возникают из-за исключения единственного генератора Кокстера. В все максимальные параболические подгруппы изоморфны конечной симметрической группе . Подгруппа, порожденная подмножеством, состоит из тех аффинных перестановок, которые стабилизируют интервал , то есть отображают каждый элемент этого интервала в другой элемент интервала. ^[14]${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{s_{0},\ldots ,s_{n-1}\}\smallsetminus \{s_{i}\}}$${\displaystyle [i+1,i+n]}$

В немаксимальных параболических подгруппах все изоморфны параболические подгруппы , то есть на подгруппы Юнги для некоторых положительных целых чисел с суммой п .${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{a_{1}}\times \cdots \times S_{a_{k}}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$

Для фиксированного элемента я из , пусть максимальное собственное подмножество кокстеровских генераторов опуская , и пусть обозначим параболическую подгруппу , порожденную J . Каждый смежный класс имеет уникальный элемент минимальной длины. Набор таких представителей, обозначенный , состоит из следующих аффинных перестановок: ^[14]${\displaystyle \{0,\ldots ,n-1\}}$${\displaystyle J=\{s_{0},\ldots ,s_{n-1}\}\smallsetminus \{s_{i}\}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle ({\widetilde {S}}_{n})_{J}}$ ${\displaystyle g\cdot ({\widetilde {S}}_{n})_{J}}$${\displaystyle ({\widetilde {S}}_{n})^{J}}$

В частном случае , когда это стандартная копия inside , элементы могут быть естественным образом представлены диаграммами абака : целые числа расположены в бесконечной полосе шириной n , последовательно увеличивающейся вдоль строк, а затем сверху вниз; целые числа обведены кружком, если они лежат непосредственно над одним из оконных элементов минимального представителя смежного класса. Например, минимальный представитель смежного класса представлен диаграммой на счетах справа. Чтобы вычислить длину представителя на диаграмме абак, нужно складывать количество чисел, не обведенных кружком, которые меньше, чем последняя запись в кружке в каждом столбце. (В показанном примере это дает .) ^[25]${\displaystyle J=\{s_{1},\ldots ,s_{n-1}\}}$${\displaystyle ({\widetilde {S}}_{n})_{J}\cong S_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle ({\widetilde {S}}_{n})^{J}\cong {\widetilde {S}}_{n}/S_{n}}$${\displaystyle u=[-5,0,6,9]}$${\displaystyle 5+3+0+1=9}$

Другие комбинаторные модели представителей смежных классов минимальной длины для могут быть заданы в терминах основных разделов ( целочисленных разделов, в которых длина крюка не делится на n ) или ограниченных разделов (целочисленных разделов, в которых ни одна часть не превышает n - 1 ). При этих соответствиях можно показать, что слабый порядок Брюа на изоморфен некоторому подмножеству решетки Юнга . ^{[26] [27]}${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}/S_{n}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}/S_{n}}$

Порядок Брюа [ править ]

Порядок Брюа на имеет следующую комбинаторную реализацию. Если u - аффинная перестановка, а i и j - целые числа, определите как количество целых чисел a, таких что и . (Например, с , у одного есть : три релевантных значения , которые соответственно отображаются u в 1, 2 и 4.) Тогда для двух аффинных перестановок u , v один имеет это в порядке Брюа тогда и только тогда, когда для все целые числа i , j . ^[28]${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle u[i,j]}$${\displaystyle a\leq i}$${\displaystyle u(a)\geq j}$${\displaystyle u=[2,0,4]\in {\widetilde {S}}_{3}}$${\displaystyle u[3,1]=3}$${\displaystyle a=0,1,3}$${\displaystyle u\leq v}$${\displaystyle u[i,j]\leq v[i,j]}$

Теория представлений и аффинное соответствие Робинсона – Шенстеда [ править ]

В конечной симметрической группе, то соответствие Робинсона-Шенстед дает взаимно однозначное соответствие между группой и паром из стандартных таблиц Юнги той же формы. Эта биекция играет центральную роль в комбинаторике и теории представлений симметрической группы . Например, на языке теории Каждана – Люстига две перестановки лежат в одной и той же левой ячейке тогда и только тогда, когда их изображения под Робинсоном – Шенстедом имеют одну и ту же таблицу Q , и в той же правой ячейке тогда и только тогда, когда их изображения имеют та же таблица Р . В ( Shi 1986 ) Ж.-Й. Ши показал, что левые ячейки для индексируются вместо${\displaystyle (P,Q)}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$таблоиды , ^[b] и в ( Shi 1991 ) он дал алгоритм для вычисления таблоида, аналогичный таблице P для аффинной перестановки. В ( Chmutov, Pylyavskyy & Yudovina 2018 ) авторы расширили работу Ши, чтобы дать биективную карту между тройками и, состоящую из двух таблоидов одинаковой формы и целочисленного вектора, элементы которого удовлетворяют определенным неравенствам. Их процедура использует матричное представление аффинных перестановок и обобщает теневую конструкцию из Viennot (1977) .${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle (P,Q,\rho )}$

Обратные реализации [ править ]

В некоторых ситуациях может потребоваться рассмотреть действие аффинной симметрической группы на или на альковах, обратное указанному выше. ^[c] Теперь мы опишем эти альтернативные реализации.${\displaystyle \mathbb {Z} }$

В комбинаторном действии on генератор действует, переключая значения i и i + 1 . В обратном действии он вместо этого переключает записи в позициях i и i + 1 . Точно так же действие общего отражения будет заключаться в переключении записей в позициях j - kn и i + kn для каждого k , фиксируя все входы в позициях, не совпадающих с i или j по модулю n . ^[29] (В конечной симметрической группе${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle S_{n}}$, аналогичное различие проводится между активной и пассивной формами перестановки. ^[30] )

В геометрическом действии , генератор воздействует на нишу A , отражая его через одну из ограничивающих плоскостей основной ниши A ₀ . В обратном действии он вместо этого отражает точку A через одну из своих ограничивающих плоскостей. С этой точки зрения, приведенное слово соответствует нишей прогулки на мозаичных пространстве V . ^[31]${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle s_{i}}$

Связь с другими математическими объектами [ править ]

Аффинная симметрическая группа тесно связана с множеством других математических объектов.

Шаблоны жонглирования [ править ]

В ( Ehrenborg & Readdy 1996 ) дается соответствие между аффинными перестановками и шаблонами жонглирования, закодированными в версии нотации sitewap . ^[32] Здесь шаблон жонглирования периода n представляет собой последовательность неотрицательных целых чисел (с некоторыми ограничениями), которая отражает поведение мячей, брошенных жонглером, где число указывает продолжительность времени, в течение которого i- й бросок находится в воздухе ( эквивалентно высоте броска). ^[d] Количество b шаров в шаблоне является средним . ^[34] Соответствие Эренборга – Ридди ассоциируется с каждым образцом жонглирования.${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b={\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}}$${\displaystyle {\bf {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$периода n функция, определяемая формулой${\displaystyle w_{\bf {a}}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$

где индексы последовательности a берутся по модулю n . Тогда это аффинная перестановка в , и, более того, каждая аффинная перестановка возникает из шаблона жонглирования таким образом. ^[32] В соответствии с этой биекцией длина аффинной перестановки кодируется естественной статистикой в ​​шаблоне жонглирования: один имеет${\displaystyle w_{\bf {a}}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$где - количество пересечений (с точностью до периодичности) в дуговой диаграмме a . Это позволяет элементарно доказать производящую функцию для аффинных перестановок по длине. ^[35]${\displaystyle \operatorname {cross} ({\bf {a}})}$

Например, шаблон 441 жонглирования (показанный справа) имеет и . Следовательно, это соответствует аффинной перестановке . Шаблон жонглирования имеет четыре пересечения, а аффинная перестановка имеет длину .${\displaystyle n=3}$${\displaystyle b={\frac {4+4+1}{3}}=3}$${\displaystyle w_{441}=[1+4-3,2+4-3,3+1-3]=[2,3,1]}$${\displaystyle \ell (w_{441})=(3-1)\cdot 3-4=2}$

Аналогичные методы можно использовать для получения производящей функции для представителей минимального смежного класса по длине. ^[36]${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}/S_{n}}$

Сложные группы отражения [ править ]

В конечномерном реальном внутреннем пространстве продукта , A отражения является линейное преобразование , что фиксирует линейный Гиперплоскость точечно и сводит на нет вектор , ортогональный к плоскости. Это понятие можно распространить на векторные пространства над другими полями . В частности, в сложном внутреннем пространстве продукта отражение - это унитарное преобразование T конечного порядка, фиксирующее гиперплоскость. ^[e] Это означает, что векторы, ортогональные гиперплоскости, являются собственными векторами T , а соответствующее собственное значение является комплексным корнем из единицы . Комплекс группа отраженийконечная группа линейных преобразований на комплексном векторном пространстве, порожденном отражениями.

Комплексные группы отражений были полностью классифицированы Шепардом и Тоддом (1954) : каждая комплексная группа отражений изоморфна произведению неприводимых комплексных групп отражений, и каждая неприводимая группа отражений принадлежит бесконечному семейству (где m , p и n - натуральные числа такое, что p делит m ) или является одним из 34 других (так называемых «исключительных») примеров. Группа является обобщенной симметрической группой : алгебраически, это сплетение из циклической группы с симметричной группой . Конкретно элементы группы могут быть представлены${\displaystyle G(m,p,n)}$${\displaystyle G(m,1,n)}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\wr S_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$${\displaystyle S_{n}}$мономиальные матрицы (матрицы, имеющие по одному ненулевому элементу в каждой строке и столбце), все ненулевые элементы которых являются корнями m- й степени из единицы. Группы являются подгруппами , и, в частности, группа состоит из тех матриц, в которых произведение ненулевых элементов равно 1.${\displaystyle G(m,p,n)}$${\displaystyle G(m,1,n)}$${\displaystyle G(m,m,n)}$

В ( Shi 2002 ) Ши показал, что аффинная симметрическая группа является общим покрытием семейства в следующем смысле: для любого положительного целого числа m существует сюръекция из в , и эти отображения совместимы с естественными сюръекциями, когда это происходят от возведения каждой записи в степень m / p . Более того, эти проекции учитывают структуру группы отражений в том смысле, что изображение каждого отражения в нижней части является отражением в ; и аналогично, когда изображение стандартного элемента Кокстера в является элементом Кокстера в .${\displaystyle \left\{G(m,m,n)\colon m\geq 1\right\}}$${\displaystyle \pi _{m}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle G(m,m,n)}$${\displaystyle G(m,m,n)\twoheadrightarrow G(p,p,n)}$${\displaystyle p\mid m}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle \pi _{m}}$${\displaystyle G(m,m,n)}$${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle s_{0}\cdot s_{1}\cdots s_{n-1}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle G(m,m,n)}$^[37]

Аффинные алгебры Ли [ править ]

Каждая аффинная группа Кокстера связана с аффинной алгеброй Ли , некоторой бесконечномерной неассоциативной алгеброй с необычно хорошими теоретико-представительными свойствами. В этой ассоциации группа Кокстера возникает как группа симметрий корневого пространства алгебры Ли (двойственной к подалгебре Картана). ^[38] В классификации аффинных алгебр Ли ассоциированная алгебра имеет (раскрученный) тип , с матрицей Картана для и${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle A_{n-1}^{(1)}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-2\\-2&2\end{bmatrix}}}$${\displaystyle n=2}$

( циркулянтная матрица ) для . ^[39]${\displaystyle n>2}$

Как и другие алгебры Каца – Муди , аффинные алгебры Ли удовлетворяют формуле характера Вейля – Каца , которая выражает характеры алгебры через их старшие веса . ^[40] В случае аффинных алгебр Ли полученные тождества эквивалентны тождествам Макдональда . В частности, для аффинной алгебры Ли типа , ассоциированной с аффинной симметрической группой , соответствующее тождество Макдональда эквивалентно тройному произведению Якоби . ^[41]${\displaystyle A_{1}^{(1)}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{2}}$

Расширенная аффинная симметрическая группа [ править ]

Аффинная симметрическая группа - это подгруппа расширенной аффинной симметрической группы . Расширенная группа изоморфна сплетению . Его элементы являются расширенными аффинными перестановками : биекциями, такими, что для всех целых чисел x . В отличие от аффинной симметрической группы расширенная аффинная симметрическая группа не является группой Кокстера. Однако у него есть естественный генераторный набор, который расширяет генераторный набор Кокстера для : оператор сдвига, чья оконная нотация является, генерирует расширенную группу с простыми отражениями с учетом дополнительных соотношений . ^[7]${\displaystyle \mathbb {Z} \wr S_{n}}$${\displaystyle u\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$${\displaystyle u(x+n)=u(x)+n}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$ ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau =[2,3,\ldots ,n,n+1]}$${\displaystyle \tau s_{i}\tau ^{-1}=s_{i+1}}$

Комбинаторика других аффинных групп Кокстера [ править ]

Геометрическое действие аффинной симметрической группы естественным образом помещает ее в семейство аффинных групп Кокстера , каждая из которых имеет аналогичное геометрическое действие. Комбинаторное описание группы также может быть распространено на многие из этих групп: в ( Eriksson & Eriksson 1998 ) дано аксиоматическое описание определенных групп перестановок, действующих на («группы Джорджа» в честь Джорджа Люстига ), и это показано, что это в точности «классические» группы Кокстера конечных и аффинных типов A, B, C и D. Таким образом, комбинаторные интерпретации спусков, инверсий и т. д. сохраняются в этих случаях. ^[42]${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle {\widetilde {S}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Модели Abacus представителей смежных классов минимальной длины для параболических частных также были расширены в этом контексте. ^[43]

Заметки [ править ]

Эта статья была адаптирована из следующего источника по лицензии CC BY 4.0 ( 2021 г. ) ( отчеты рецензента ): Джоэл Брюстер Льюис (21 апреля 2021 г.). «Аффинная симметрическая группа». WikiJournal of Science . 4 (1): 3. DOI : 10,15347 / WJS / 2021,003 . ISSN  2470-6345 . Викиданные  Q100400684 .

Ссылки [ править ]

• Бизли, Элизабет; Николс, Маргарет; Пак, Мин Хэ; Ши, Сяолинь; Юцис, Александр (2015), "Биективные проекции на параболические факторы аффинных групп Вейля", J. Algeb. Гребень. , 41 : 911-948, DOI : 10.1007 / s10801-014-0559-9
• Берг, Крис; Джонс, Брант; Вазирани, Моника (2009), "Биекция на основных разбиениях и параболический фактор аффинной симметрической группы", J. Combin. Теория Сер. A , 116 (8): 1344–1360, DOI : 10.1016 / j.jcta.2009.03.013
• Билли, Сара К .; Джокуш, Уильям; Стэнли, Ричард П. (1993), "Некоторые комбинаторные свойства многочленов Шуберта", J. Algeb. Гребень. , 2 : 345-374, DOI : 10,1023 / A: 1022419800503
• Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (1996), "Аффинные перестановки типа A", Электрон. J. Combin. , 3 (2): R 18, DOI : 10,37236 / 1276
• Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005), комбинаторика групп Кокстера , Springer, ISBN 978-3540-442387
• Кэмерон, Питер Дж. (1994), Комбинаторика: темы, методы, алгоритмы , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45761-3
• Чмутов Михаил; Пилявский, Павел; Юдовина, Елена (2018), "Построение матричного шара аффинного соответствия Робинсона-Шенстеда", Selecta Math. (NS) , 24 (2): 667-750, DOI : 10.1007 / s00029-018-0402-6
• Кларк, Эрик; Ehrenborg, Ричард (2011), "Excedances аффинных перестановок", достижения в области прикладной математики , 46 : 175-191, DOI : 10.1016 / j.aam.2009.12.006
• Криты, Эндрю (2010), "Избегание перечисления шаблонов для аффинных перестановок", Электрон. J. Combin. , 17 (1): R127, DOI : 10,37236 / 399
• Эренборг, Ричард ; Ридди, Маргарет (1996), "Жонглирование и приложения к q -аналогам", Discrete Math. , 157 : 107-125, DOI : 10.1016 / S0012-365X (96) 83010-X
• Эрикссон, Хенрик; Эрикссон, Киммо (1998), "Аффинные группы Вейля как бесконечные перестановки", Электрон. J. Combin. , 5 : R18, DOI : 10,37236 / 1356
• Грин, RM (2002), "О 321-избегающих перестановках в аффинных группах Вейля", J. Algeb. Гребень. , 15 : 241-252, DOI : 10,1023 / A: 1015012524524
• Хануса, Кристофер Р.Х .; Джонс, Брант К. (2010), "Перечисление полностью коммутативных аффинных перестановок", Eur. J. Comb. , 31 (5): 1342–1359, DOI : 10.1016 / j.ejc.2009.11.010
• Хануса, Кристофер Р.Х .; Джонс, Брант С. (2012), "модель Abacus для параболических дробей аффинных групп Вейля", J. Алгебра , 361 : 134-162, DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2012.03.029
• Хамфрис, Джеймс Э. (1990), группы отражения и группы Кокстера , Cambridge University Press, ISBN 0-521-37510-X
• Кац, Виктор Г. (1990), Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-46693-8
• Кнутсон, Аллен ; Лам, Томас; Шпейер, Дэвид Э. (2013), "Разновидности позитроидов: жонглирование и геометрия", Compositio Math. , 149 : 1710-1752, DOI : 10,1112 / S0010437X13007240
• Лам, Томас (2015), "Форма случайного элемента аффинной группы Вейля и случайные разбиения ядра", Ann. Вероятно. , 43 (4): 1643-1662, DOI : 10,1214 / 14-AOP915
• Лапойнт, Люк; Морс, Дженнифер (2005), «Таблицы на -ядрах, сокращенные слова для аффинных перестановок и разложения Шура», J. Combin. Теория Сер. , 112 (1): 44-81, DOI : 10.1016 / j.jcta.2005.01.003${\displaystyle k+1}$${\displaystyle k}$
• Льюис, Джоэл Брюстер (2020), «Заметка о действии Гурвица на факторизации отражения элементов Кокстера в комплексных группах отражений», Электрон. J. Combin. , 27 (2): P2.54, DOI : 10,37236 / 9351
• Льюис, Джоэл Брюстер; Маккаммонд, Джон; Петерсен, Т. Кайл; Швер, Петра (2019), "Вычисление длины отражения в аффинной группе Кокстера", Пер. Амер. Математика. Soc. , 371 : 4097-4127, DOI : 10,1090 / тран / 7472
• Петерсен, Т. Кайл (2015), числа Эйлера , Birkhauser, DOI : 10.1007 / 978-1-4939-3091-3 , ISBN 978-1-4939-3090-6
• Польстер, Буркард (2003), Математика жонглирования , Springer, ISBN 0-387-95513-5
• Райнер, Виктор (1995), "Распределение спусков и длины в группе Кокстера", Электрон. J. Combin. , 2 : R25, DOI : 10,37236 / 1219
• Шепард, GC ; Тодд, Дж. А. (1954), "Конечные унитарные группы отражений", Канад. J. Math. , 6 : 274-304, DOI : 10,4153 / CJM-1954-028-3
• Ши, Цзян-И (1986), Ячейки Каждана – Люстига некоторых аффинных групп Вейля , Лекционные заметки по математике, 1179 , Springer, ISBN 3-540-16439-1
• Ши, Цзянь-Yi (1991), "Обобщенный алгоритм Робинсона-Шенстеда на аффинной Вейля группы типа А _{п -1} ", Ж. Алгебра , 139 (2): 364-394, DOI : 10.1016 / 0021-8693 ( 91) 90300-З
• Ши, Цзян-И (2002), "Некоторые импримитивные группы отражений и их общие версии", Trans. Амер. Математика. Soc. , 354 (5): 2115-2129, DOI : 10,1090 / S0002-9947-02-02941-0
• Стембридж, Джон (1996), "О полностью коммутативных элементах групп Кокстера", J. Alg. Гребень. , 5 : 353-385, DOI : 10.1007 / BF00193185
• Виеннот, Г. (1977), «Une forme géométrique de la correcance de Robinson-Schensted», в Foata, Dominique (ed.), Combinatoire et représentation du groupe symétrique , Lecture Notes in Mathematics, 579 , Springer, pp. 29– 58, DOI : 10.1007 / BFb0090011 , ISBN 978-3-540-08143-2