Предел Фраисе

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Январь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Fraïssé limit»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математической логике , в частности , в дисциплине теории моделей , то предел FRAISSE (также называется строительство FRAISSE или FRAISSE объединение ) представляет собой метод , используемый для конструкции (бесконечного) математических структур от их (конечных) подструктур . Это частный пример более общей концепции прямого ограничения в категории . ^[1] Этот метод был разработан в 1950-х годах его тезкой, французским логиком Роланом Фраиссе . ^[2]

Суть конструкции Фраиссе - показать, как можно аппроксимировать ( счетную ) структуру ее конечно порожденными подструктурами. Если задан класс конечных реляционных структур , если он удовлетворяет определенным свойствам (описанным ниже), тогда существует единственная счетная структура , называемая пределом Фраиссе , которая содержит все элементы как подструктуры .${\ displaystyle \ mathbf {K}}$${\ displaystyle \ mathbf {K}}$${\ displaystyle \ operatorname {Flim} (\ mathbf {K})}$${\ displaystyle \ mathbf {K}}$${\ displaystyle \ mathbf {K}}$

Общее изучение пределов Фраиссе и связанных с ними понятий иногда называют теорией Фраиссе . Эта область нашла широкое применение в других областях математики, включая топологическую динамику , функциональный анализ и теорию Рамсея . ^[3]

Конечно сгенерированные подструктуры и возраст [ править ]

Исправьте язык . Под -структурой мы подразумеваем логическую структуру, имеющую сигнатуру .${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

Дано -структура с доменом , и подмножество , мы используем для обозначения наименее подструктур из которого домен содержит (т.е. замыкание при всех функциях и постоянных символах ).${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A \ substeq M}$${\ Displaystyle \ langle А \ rangle ^ {\ mathcal {M}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

Подструктура в этом случае называется конечно порожденной, если для некоторого конечного подмножества . ^[4] возраст , обозначенный , является класс всех конечно порожденных подструктур .${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=\langle A\rangle ^{\mathcal {M}}}$${\displaystyle A\subseteq M}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \operatorname {Age} ({\mathcal {M}})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Можно доказать, что любой класс , являющийся возрастом некоторой структуры, удовлетворяет следующим двум условиям:${\displaystyle \mathbf {K} }$

Наследственная собственность (HP)

Если и - конечно порожденная подструктура в , то изоморфна некоторой структуре в .${\displaystyle A\in \mathbf {K} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {K} }$

Совместное свойство встраивания (JEP)

Если , то существует такое, что оба и встраиваются в .${\displaystyle A,B\in \mathbf {K} }$${\displaystyle C\in \mathbf {K} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

Теорема Фраиссе [ править ]

Как и выше, мы отметили , что для любой -структуры , удовлетворяет HP и JEP. Фраисс доказал обратный результат: когда любое непустое счетное множество конечно порожденных -структур, обладающее двумя указанными выше свойствами, является возрастом некоторой счетной структуры.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \operatorname {Age} ({\mathcal {M}})}$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Кроме того, предположим, что это удовлетворяет следующим дополнительным свойствам.${\displaystyle \mathbf {K} }$

Собственность слияния (AP)

Для любых структур , таких, что существуют вложения , существуют структура и вложения , такие, что (т.е. они совпадают на образе A в обеих структурах).${\displaystyle A,B,C\in \mathbf {K} }$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g:A\to C}$${\displaystyle D\in \mathbf {K} }$${\displaystyle f':B\to D}$${\displaystyle g':C\to D}$${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g}$

Существенная счетность (EC)

С точностью до изоморфизма структур в .${\displaystyle \mathbf {K} }$

В этом случае мы говорим, что K - класс Фраиссе и существует единственная (с точностью до изоморфизма) счетная однородная структура , возраст которой точно равен . ^[5] Эта структура называется предел FRAISSE из .${\displaystyle \operatorname {Flim} (\mathbf {K} )}$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle \mathbf {K} }$

Здесь однородный означает, что любой изоморфизм между двумя конечно порожденными подструктурами может быть расширен до автоморфизма всей структуры.${\displaystyle \pi :A\to B}$${\displaystyle A,B\in \mathbf {K} }$

Примеры [ править ]

Типичным примером является класс всех конечных линейных порядков , для которых предел Фраиссе является плотным линейным порядком без конечных точек (т. Е. Без наименьшего или наибольшего элемента ). С точностью до изоморфизма это всегда эквивалентно структуре , т.е. рациональным числам с обычным порядком.${\displaystyle \mathbf {FCh} }$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Q} ,<\rangle }$

В качестве не например, отметить , что ни один, ни не являются пределом FRAISSE из . Это потому, что, хотя оба они исчисляемы и имеют возраст, ни один из них не является однородным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим подструктуры и , а также изоморфизм между ними. Это не может быть расширено до автоморфизма или , поскольку нет элемента, который мы могли бы отобразить , сохраняя при этом порядок.${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,<\rangle }$${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,<\rangle }$${\displaystyle \mathbf {FCh} }$${\displaystyle \mathbf {FCh} }$${\displaystyle {\big \langle }\{1,3\},<{\big \rangle }}$${\displaystyle {\big \langle }\{5,6\},<{\big \rangle }}$${\displaystyle 1\mapsto 5,\ 3\mapsto 6}$${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,<\rangle }$${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,<\rangle }$${\displaystyle 2}$

Другой пример - класс всех конечных графов , предел Фрассе которых - граф Радо . ^[1]${\displaystyle \mathbf {Gph} }$

ω-категоричность [ править ]

Предположим, что наш рассматриваемый класс удовлетворяет дополнительному свойству быть равномерно локально конечным , что означает, что для каждого существует равномерная граница размера -порожденной подструктуры. Это условие эквивалентно пределу FRAISSE от того ω-категорична .${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {K} }$

Например, класс конечномерных векторных пространств над фиксированным полем всегда является классом Фраиссе, но он равномерно локально конечен, только если поле конечно.

См. Также [ править ]

• Структурная теория Рамсея

Ссылки [ править ]