Агрегатная игра

В теории игр , агрегатный игра это игра , в которой выигрыш каждого игрока является функция собственной стратегии игрока и совокупность стратегий всех игроков. Эта концепция была впервые предложена лауреатом Нобелевской премии Рейнхардом Зельтеном в 1970 году, который рассмотрел случай, когда совокупность представляет собой сумму стратегий игроков.

Определение [ править ]

Рассмотрим стандартную некооперативную игру с n игроками, где - набор стратегий игрока i , - набор совместных стратегий и - функция выигрыша игрока i . В этом случае игра называется совокупной, если для каждого игрока i существует такая функция , что для всех :${\ Displaystyle S_ {я} \ substeq \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle S = S_ {1} \ times S_ {2} \ times \ ldots \ times S_ {n}}$${\ displaystyle f_ {i}: S \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {i}: S_ {i} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle s \ in S}$

${\displaystyle f_{i}(s)={\tilde {f}}_{i}\left(s_{i},\sum _{j=1}^{n}s_{j}\right)}$

Другими словами, функции выигрыша в агрегированных играх зависят от собственных стратегий игроков и от совокупности . В качестве примера рассмотрим модель Курно, в которой у фирмы i есть функция выплаты / прибыли (здесь и - соответственно обратная функция спроса и функция затрат фирмы i ). Это агрегатная игра, откуда .${\displaystyle \sum s_{j}}$${\displaystyle f_{i}(s)=s_{i}P\left(\sum s_{j}\right)-C_{i}(s_{i})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle f_{i}(s)={\tilde {f}}_{i}\left(s_{i},\sum s_{j}\right)}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}(s_{i},X)=s_{i}P(X)-C_{i}(s_{i})}$

Обобщения [ править ]

В литературе появился ряд обобщений стандартного определения агрегированной игры. Игра имеет обобщенный агрегатного ^[1] , если существует аддитивно разъемные функцию (то есть, если существуют возрастающие функции , такие , что ) таким образом, что для каждого игрока я существует функция такая , что для всех . Очевидно, что любая совокупная игра - это обобщенная совокупная игра, если смотреть на нее по взятию . Более общим определением по-прежнему является определение квазиагрегативных игр, в которых функциям выигрыша агентов разрешается зависеть от различных функций стратегий оппонентов. ^[2]${\displaystyle g:S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle h_{0},h_{1},\ldots ,h_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle g(s)=h_{0}(\sum _{i}h_{i}(s_{i}))}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}:S_{i}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{i}(s)={\tilde {f}}_{i}(s_{i},g(s_{1},\ldots ,s_{n}))}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle g(s_{1},\ldots ,s_{n})=\sum s_{i}}$Агрегированные игры также могут быть обобщены, чтобы учесть бесконечное количество игроков, и в этом случае агрегатор обычно будет интегральной, а не линейной суммой. ^[3] Агрегированные игры с континуумом игроков часто изучаются в теории игр среднего поля .

Свойства [ править ]

• Обобщенные агрегированные игры (следовательно, агрегатные игры) допускают обратные соответствия и, по сути, являются наиболее общим классом, допускающим это. ^[1] Соответствия обратных ответов, а также тесно связанные общие соответствия являются мощным аналитическим инструментом в теории игр. Например, соответствия обратного ответа использовались, чтобы дать первое общее доказательство существования равновесия по Нэшу в модели Курно без допущения квазивогнутости функций прибыли фирм. ^[4] Соответствия обратных ответов также играют решающую роль для сравнительного статического анализа (см. Ниже).
• Квазиагрегативные игры (отсюда обобщенные агрегированные игры, следовательно, агрегированные игры) являются потенциальными играми с наилучшим ответом, если соответствия с наилучшим откликом либо увеличиваются, либо уменьшаются. ^{[5] [2]} Точно так же, как игры со стратегической взаимодополняемостью , такие игры имеют чистое стратегическое равновесие по Нэшу, независимо от того, являются ли функции выигрыша квазивогнутыми и / или наборы стратегий выпуклы . Доказательство существования в ^[4] является частным случаем таких более общих результатов существования.
• Агрегатные игры обладают сильными свойствами сравнительной статики . В очень общих условиях можно предсказать, как изменение экзогенных параметров повлияет на равновесие по Нэшу . ^{[6] [7]}

См. Также [ править ]

• Конкурс Бертрана
• Конкурс Курно
• Теория игр среднего поля

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Селтен, Р. (1970). Preispolitik der Mehrproduktenunternehmung in der Statischen Theorie (Первое издание). Springer Verlag, Берлин.CS1 maint: ref=harv (link)