Сравнительная статика

На этом графике сравнительная статика показывает увеличение спроса, вызывающее рост цены и количества. Сравнивая два состояния равновесия, сравнительная статика не описывает, как на самом деле происходит повышение .

В экономике , сравнительной статики является сравнение двух различных экономических результатов, до и после изменения какого - либо лежащей в основе экзогенного параметра . ^[1]

Как тип статического анализа, он сравнивает два различных состояния равновесия после процесса корректировки (если таковая имеется). Он не изучает ни движение к равновесию, ни сам процесс изменения.

Сравнительная статика обычно используется для изучения изменений спроса и предложения при анализе отдельного рынка , а также для изучения изменений в денежно-кредитной или фискальной политике при анализе экономики в целом . Сравнительная статика - это инструмент анализа в микроэкономике (включая анализ общего равновесия ) и макроэкономике . Сравнительная статика была формализована Джоном Р. Хиксом (1939) и Полом А. Самуэльсоном (1947) (Кехо, 1987, стр. 517), но была представлена графически, по крайней мере, с 1870-х годов. ^[2]

Для моделей стабильных равновесных темпов изменения, таких как неоклассическая модель роста , сравнительная динамика является аналогом сравнительной статики (Eatwell, 1987).

Линейное приближение [ править ]

Результаты сравнительной статики обычно получают с помощью теоремы о неявной функции для вычисления линейного приближения к системе уравнений, определяющей равновесие, в предположении, что равновесие является устойчивым. То есть, если мы рассмотрим достаточно малое изменение некоторого экзогенного параметра, мы можем вычислить, как изменяется каждая эндогенная переменная, используя только первые производные членов, которые появляются в уравнениях равновесия.

Например, предположим, что равновесное значение некоторой эндогенной переменной определяется следующим уравнением: ${\ displaystyle x}$

{\ Displaystyle е (х, а) = 0 \,}

где - экзогенный параметр. Тогда в приближении первого порядка изменение, вызванное небольшим изменением, должно удовлетворять: ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle B {\ text {d}} x + C {\ text {d}} a = 0.}

Здесь и представляют изменения в и , соответственно, в то время как и являются частными производными по и (оцениваются при начальных значениях и ) соответственно. Точно так же мы можем записать изменение как: ${\ displaystyle {\ text {d}} x}$ ${\text{d}}a$ $x$ $a$ $B$ $C$ $f$ $x$ $a$ $x$ $a$ $x$

{\text{d}}x=-B^{-1}C{\text{d}}a.

Разделив до последнего уравнения на д а дает сравнительную статическую производную от х по отношению к , также называемый множитель из по х :

{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}a}}=-B^{-1}C.

Многие уравнения и неизвестные [ править ]

Все приведенные выше уравнения остаются верными в случае системы уравнений с неизвестными. Другими словами, предположим, представляет собой систему уравнений, включающую вектор неизвестных и вектор заданных параметров . Если мы сделаем достаточно небольшое изменение параметров, то результирующие изменения эндогенных переменных можно сколь угодно хорошо аппроксимировать с помощью . В этом случае представляет собой × -матрицу частных производных функций по переменным , а представляет × -матрицу частных производных функций. $n$ $n$ $f(x,a)=0$ $n$ $n$ $x$ $m$ $a$ ${\text{d}}a$ ${\text{d}}x=-B^{-1}C{\text{d}}a$ $B$ $n$ $n$ $f$ $x$ $C$ $n$ $m$ $f$ по параметрам . (Производные в и оцениваются при начальных значениях и .) Обратите внимание, что если нужно просто сравнительное статическое воздействие одной экзогенной переменной на одну эндогенную переменную, правило Крамера можно использовать для полностью дифференцированной системы уравнений . $a$ $B$ $C$ $x$ $a$ $B{\text{d}}x+C{\text{d}}a\,=0$

Стабильность [ править ]

Предположение об устойчивости равновесия имеет значение по двум причинам. Во-первых, если равновесие было нестабильным, небольшое изменение параметра могло бы вызвать большой скачок в значении , делая недействительным использование линейного приближения. Кроме того, Пол А. Самуэльсон «ы принцип соответствия ^[3]^[4]^[5]^:^pp.122-123. утверждает, что стабильность равновесия имеет качественное значение относительно сравнительных статических эффектов. Другими словами, знание того, что равновесие устойчиво, может помочь нам предсказать, является ли каждый из коэффициентов в векторе положительным или отрицательным. В частности, одним из n необходимых и вместе достаточных условий устойчивости является то, что определитель $x$ $B^{-1}C$ из п × п матрицы B имеют особый знак; поскольку этот определитель появляется как знаменатель в выражении для , знак определителя влияет на знаки всех элементов вектора сравнительных статических эффектов. $B^{-1}$ $B^{-1}C{\text{d}}a$

Пример роли предположения об устойчивости [ править ]

Предположим, что объемы спроса и предложения продукта определяются следующими уравнениями:

Q^{d}(P)=a+bP

Q^{s}(P)=c+gP

где - объем спроса , - объем предложения , P - цена, a и c - параметры отсечения, определяемые экзогенными влияниями на спрос и предложение соответственно, b <0 - величина, обратная наклону кривой спроса , а g - величина, обратная наклону кривой предложения; g > 0, если кривая предложения имеет наклон вверх, g = 0, если кривая предложения вертикальна, и g <0, если кривая предложения имеет наклон назад. Если мы приравняем поставляемое количество к количеству спроса , чтобы найти равновесную цену , мы обнаружим, что $Q^{d}$ $Q^{s}$ $P^{eqb}$

P^{eqb}={\frac {a-c}{g-b}}.

Это означает, что равновесная цена положительно зависит от точки пересечения спроса, если g - b > 0, но отрицательно зависит от нее, если g - b <0. Какая из этих возможностей актуальна? Фактически, начиная с начального статического равновесия и затем меняя a , новое равновесие актуально только в том случае, если рынок действительно переходит к этому новому равновесию. Предположим, что ценовые корректировки на рынке происходят в соответствии с

{\frac {dP}{dt}}=\lambda (Q^{d}(P)-Q^{s}(P))

где > 0 является скорость параметра регулировки и является производной по времени от цены - то есть, это означает , как быстро и в каком направлении изменения цен. Согласно теории устойчивости , P будет сходиться к своему равновесному значению тогда и только тогда, когда производная отрицательна. Эта производная дается формулой $\lambda$ ${\frac {dP}{dt}}$ ${\frac {d(dP/dt)}{dP}}$

{\frac {d(dP/dt)}{dP}}=-\lambda (-b+g).

Это отрицательно, если и только если g - b > 0, и в этом случае параметр ограничения спроса a положительно влияет на цену. Таким образом, мы можем сказать, что, хотя направление воздействия ограничения спроса на равновесную цену неоднозначно, когда все, что мы знаем, это то, что обратная величина наклона кривой предложения, g , отрицательна, в единственном значимом случае (в котором цена на самом деле переходит к своему новому равновесному значению) увеличение перехвата спроса увеличивает цену. Обратите внимание, что в этом случае, когда g - b > 0, кривая предложения, если она имеет отрицательный наклон, круче кривой спроса.

Без ограничений [ править ]

Предположим, что это гладкая и строго вогнутая целевая функция, где x - вектор из n эндогенных переменных, а q - вектор из m экзогенных параметров. Рассмотрим задачу безусловной оптимизации . Пусть , в п по п матрицей первых частных производных по отношению к его первых п аргументов х ₁ , ..., х _п . Максимизатор определяется условием первого порядка n × 1 . $p(x;q)$ $x^{*}(q)=\arg \max p(x;q)$ $f(x;q)=D_{x}p(x;q)$ $p(x;q)$ $x^{*}(q)$ $f(x^{*}(q);q)=0$

Сравнительная статика спрашивает, как этот максимайзер изменяется в ответ на изменения параметров m . Цель - найти . $\partial x_{i}^{*}/\partial q_{j},i=1,...,n,j=1,...,m$

Строгая вогнутость целевой функции означает, что якобиан функции f , которая является в точности матрицей вторых частных производных функции p по эндогенным переменным, неособен (имеет обратный). По теореме о неявной функции , то, может рассматриваться как локально непрерывно дифференцируемая функция, а локальная реакция на небольшие изменения в ц задаются $x^{*}(q)$ $x^{*}(q)$

D_{q}x^{*}(q)=-[D_{x}f(x^{*}(q);q)]^{-1}D_{q}f(x^{*}(q);q).

Применяя цепное правило и условие первого порядка,

D_{q}p(x^{*}(q),q)=D_{q}p(x;q)|_{x=x^{*}(q)}.

(См. Теорему о конверте ).

Заявка на максимизацию прибыли [ править ]

Предположим, что фирма производит n товаров в количестве . Прибыль фирмы является функцией р о и м экзогенных параметров , которые могут представлять, например, различные налоговые ставки. При условии, что функция прибыли удовлетворяет требованиям гладкости и вогнутости, метод сравнительной статики, описанный выше, описывает изменения в прибыли фирмы из-за небольших изменений налоговых ставок. $x_{1},...,x_{n}$ $x_{1},...,x_{n}$ $q_{1},...,q_{m}$

С ограничениями [ править ]

Обобщение описанного выше метода позволяет включить в задачу оптимизации набор ограничений. Это приводит к общей теореме о оболочке . Приложения включают определение изменений в маршаллианском спросе в ответ на изменения цен или заработной платы.

Ограничения и расширения [ править ]

Одним из ограничений сравнительной статики, использующей теорему о неявной функции, является то, что результаты действительны только в (потенциально очень малой) окрестности оптимума, то есть только для очень небольших изменений экзогенных переменных. Еще одним ограничением является потенциально чрезмерно ограничительный характер допущений, обычно используемых для обоснования процедур сравнительной статики. Например, Джон Накбар в одном из своих тематических исследований обнаружил, что использование сравнительной статики в анализе общего равновесия лучше всего работает с очень небольшими индивидуальными данными, а не на агрегированном уровне. ^[6]

Пол Милгром и Крис Шеннон ^[7] указали в 1994 году, что предположения, традиционно используемые для оправдания использования сравнительной статики в задачах оптимизации, на самом деле не нужны - в частности, предположения о выпуклости предпочтительных множеств или множеств ограничений, гладкости их границ, условия первой и второй производных, а также линейность бюджетных наборов или целевых функций. Фактически, иногда задача, удовлетворяющая этим условиям, может быть монотонно преобразована в задачу с идентичной сравнительной статикой, но нарушающей некоторые или все эти условия; следовательно, эти условия не являются необходимыми для обоснования сравнительной статики. Исходя из статьи Милгрома и Шеннона, а также результатов, полученных Вейноттом ^[8] и Топкисом ^[9]было разработано важное направление оперативных исследований, называемое монотонной сравнительной статикой . В частности, эта теория концентрируется на сравнительном статическом анализе с использованием только условий, не зависящих от сохраняющих порядок преобразований. В методе используется теория решеток и вводятся понятия квазисверхмодулярности и условия однократного пересечения. Широкое применение монотонной сравнительной статики в экономике включает теорию производства, теорию потребителей, теорию игр с полной и неполной информацией, теорию аукционов и другие. ^[10]

См. Также [ править ]

Модель (экономика)
Качественная экономика

Заметки [ править ]

^ (Мас-Колелл, Уинстон и Грин, 1995, стр.24; Зильберберг и Суен, 2000)
^ Флиминг Дженкин (1870), «Графическое представление законов спроса и предложения и их применение к труду», в Александре Гранте, Recess Studies и (1872), «О принципах, регулирующих налогообложение», Proceedings Королевского общества Эдинбурга 1871-22 , стр. 618-30. , также в Papers, Literary, Scientific, & c , v. 2 (1887), ed. SC Colvin и JA Ewing с помощью прокрутки ссылок на главы .
^ Самуэльсон, Пол, «Устойчивость равновесия: сравнительная статика и динамика», Econometrica 9, April 1941, 97–120: вводит понятие принципа соответствия.
^ Самуэльсон, Пол, «Устойчивость равновесия: линейные и нелинейные системы», Econometrica 10 (1), январь 1942, 1-25: вводит термин «принцип соответствия».
^ Баумоль, Уильям Дж., Экономическая динамика , Macmillan Co., 3-е издание, 1970.
^ "UM Weblogin" . weblogin.umich.edu . DOI : 10.1057 / 978-1-349-95121-5_322-2 . Проверено 2 декабря 2020 .
^ Milgrom, Пол, и Шеннон, Крис. «Монотонная сравнительная статика» (1994). Econometrica, Vol. 62 Выпуск 1, стр. 157-180.
^ Вейнотт (1992): решеточное программирование: качественная оптимизация и равновесия. MS Stanford.
^ См .: Topkis, DM (1979): «Точки равновесия в субмодульных играх с ненулевой суммой n человек», SIAM Journal of Control and Optimization, 17, 773–787; а также Topkis, DM (1998): Supermodularity and Complementarity, Frontiers of Economic Research, Princeton University Press, ISBN 9780691032443 .
^ См .: Topkis, DM (1998): Supermodularity and Complementarity, Frontiers of Economic Research, Princeton University Press, ISBN 9780691032443 ; и Вивес, X. (2001): Ценообразование олигополии: старые идеи и новые инструменты. MIT Press, ISBN 9780262720403 .

Ссылки [ править ]

Джон Итуэлл и др., Изд. (1987). «Сравнительная динамика», The New Palgrave: A Dictionary of Economics , v. 1, p. 517.
Джон Р. Хикс (1939). Стоимость и капитал .
Тимоти Дж. Кехо, 1987. «Сравнительная статика», Нью-Пэлгрейв: Экономический словарь , т. 1, стр. 517–20.
Андреу Мас-Колелл , Майкл Д. Уинстон и Джерри Р. Грин, 1995. Микроэкономическая теория .
Пол А. Самуэльсон (1947). Основы экономического анализа .
Юджин Зильберберг и Винг Суен, 2000. Структура экономики: математический анализ , 3-е издание.

Внешние ссылки [ править ]

Экономический факультет Университета Сан-Хосе - сравнительный статический анализ
Глоссарий AmosWeb
Глоссарий Института рисков IFCI (из глоссария Американской фондовой биржи ) [1]

[1] (Мас-Колелл, Уинстон и Грин, 1995, стр.24; Зильберберг и Суен, 2000)

[2] Флиминг Дженкин (1870), «Графическое представление законов спроса и предложения и их применение к труду», в Александре Гранте, Recess Studies и (1872), «О принципах, регулирующих налогообложение», Proceedings Королевского общества Эдинбурга 1871-22 , стр. 618-30. , также в Papers, Literary, Scientific, & c , v. 2 (1887), ed. SC Colvin и JA Ewing с помощью прокрутки ссылок на главы .

[3] Самуэльсон, Пол, «Устойчивость равновесия: сравнительная статика и динамика», Econometrica 9, April 1941, 97–120: вводит понятие принципа соответствия.

[4] Самуэльсон, Пол, «Устойчивость равновесия: линейные и нелинейные системы», Econometrica 10 (1), январь 1942, 1-25: вводит термин «принцип соответствия».

[5] Баумоль, Уильям Дж., Экономическая динамика , Macmillan Co., 3-е издание, 1970.

[6] "UM Weblogin" . weblogin.umich.edu . DOI : 10.1057 / 978-1-349-95121-5_322-2 . Проверено 2 декабря 2020 .

[7] Milgrom, Пол, и Шеннон, Крис. «Монотонная сравнительная статика» (1994). Econometrica, Vol. 62 Выпуск 1, стр. 157-180.

[8] Вейнотт (1992): решеточное программирование: качественная оптимизация и равновесия. MS Stanford.

[9] См .: Topkis, DM (1979): «Точки равновесия в субмодульных играх с ненулевой суммой n человек», SIAM Journal of Control and Optimization, 17, 773–787; а также Topkis, DM (1998): Supermodularity and Complementarity, Frontiers of Economic Research, Princeton University Press, ISBN 9780691032443 .

[10] См .: Topkis, DM (1998): Supermodularity and Complementarity, Frontiers of Economic Research, Princeton University Press, ISBN 9780691032443 ; и Вивес, X. (2001): Ценообразование олигополии: старые идеи и новые инструменты. MIT Press, ISBN 9780262720403 .

[1]