Модель Рэмси – Касса – Купманса

Часть серии по
Макроэкономика
Базовые концепты Совокупный спрос Совокупное предложение Цикл деловой активности Дефляция Шок спроса Дезинфляция Платежеспособный спрос Ожидания Адаптивный Рациональный Финансовый кризис Рост Инфляция Инфляция спроса Толчок стоимости Процентная ставка Инвестиции Ловушка ликвидности Показатели национального дохода и выпуска ВВП ВНД NNI Микрофонды Деньги Эндогенный Создание денег Спрос на деньги Предпочтение ликвидности Денежная масса Национальные счета СНС Номинальная жесткость Уровень цены Рецессия Термоусадочная инфляция Стагфляция Шок предложения Экономия Безработица
Политики Фискальный Денежный Коммерческий Центральный банк
Модели IS – LM AD – AS Кейнсианский крест Множитель Ускоритель Кривая Филлипса Arrow – Debreu Harrod-Domar Солоу – Лебедь Рэмси – Касс – Купманс Перекрывающиеся поколения Общее равновесие DSGE Эндогенный рост Теория соответствия Манделл-Флеминг Перестрелка НАИРУ
Связанные поля Эконометрика Экономическая статистика Денежно-кредитная экономика Экономика развития Международная экономика
Школы Основной поток Кейнсианский Нео- Новый Монетаризм Новая классика Теория реального делового цикла Стокгольм Со стороны предложения Новый неоклассический синтез Морская и пресная вода Гетеродокс Австрийский Чартализм Современная денежная теория Посткейнсианский Схемотехника Нарушение равновесия Марксистский Рыночный монетаризм
Люди Франсуа Кенэ Адам Смит Томас Роберт Мальтус Карл Маркс Леон Вальрас Георг Фридрих Кнапп Кнут Виксель Ирвинг Фишер Уэсли Клер Митчелл Джон Мейнард Кейнс Элвин Хансен Михал Калецки Гуннар Мюрдал Саймон Кузнец Джоан Робинсон Фридрих Хайек Джон Хикс Ричард Стоун Хайман Мински Милтон Фридман Пол Самуэльсон Лоуренс Кляйн Эдмунд Фелпс Роберт Лукас мл. Эдвард С. Прескотт Питер Даймонд Уильям Нордхаус Джозеф Стиглиц Томас Дж. Сарджент Пол Кругман Н. Грегори Мэнкью
Смотрите также Макроэкономическая модель Публикации по макроэкономике Экономика Применяемый Микроэкономика Политическая экономика Математическая экономика
Денежный портал  Деловой портал
v т е

Модель Рамсея-Касс-Купманс или модель роста Рамсея , является неоклассическая модель экономического роста базируется прежде всего на работе Фрэнка П. Рэмзи , ^[1] с существенными расширениями по Дэвид Касс и Купманс . ^{[2] [3]} Модель Рэмси-Касса-Купманса отличается от модели Солоу-Свона тем, что выбор потребления явно микрооснован в определенный момент времени и, таким образом, эндогенизирует норму сбережений.. В результате, в отличие от модели Солоу – Свона, норма сбережений может не быть постоянной при переходе к долгосрочному устойчивому состоянию . Еще одно следствие модели - результат оптимален по Парето или эффективен по Парето . ^{[примечание 1]}

Первоначально Рэмси изложил модель как задачу социального планировщика максимизировать уровни потребления для последующих поколений. ^[4] Лишь позже модель была принята Кассом и Купмансом как описание децентрализованной динамичной экономики с репрезентативным агентом . Модель Рамсея – Касса – Купманса направлена ​​только на объяснение долгосрочного экономического роста, а не колебаний бизнес-цикла, и не включает никаких источников нарушений, таких как несовершенство рынка, неоднородность домашних хозяйств или экзогенные шоки . Поэтому последующие исследователи расширили модель, допустив шоки, связанные с государственными закупками, колебания занятости и другие источники нарушений, что известно как теория реального делового цикла..

Математическое описание [ править ]

Модель Рэмси-Касса-Купманса начинается с агрегированной производственной функции, которая удовлетворяет условиям Инада , часто определяемым как тип Кобба-Дугласа , с факторами капитала и труда . Так как эта функция производства считается однородной степенью 1 , можно выразить это в душе выражения . Количество рабочей силы равно численности населения в экономике и растет с постоянной скоростью , то есть там , где было население в начальный период. ${\ Displaystyle F (K, L)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle F (K, L) = L \ cdot F \ left ({\ frac {K} {L}}, 1 \ right) = L \ cdot f (k)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle L = L_ {0} e ^ {nt}}$${\ displaystyle L_ {0}> 0}$

Первое ключевое уравнение модели Рамсея – Касса – Купманса - это уравнение состояния для накопления капитала:

${\ displaystyle {\ dot {k}} = f (k) - (n + \ delta) kc}$

нелинейное дифференциальное уравнение, подобное модели Солоу – Свона , где - капиталоемкость (т. е. капитал на одного работника), является сокращением в нотации Ньютона для изменения капиталоемкости во времени, это потребление на одного работника, это объем производства на одного работника для дана , а - норма амортизации капитала. При упрощенном предположении об отсутствии роста населения это уравнение утверждает, что инвестиции или увеличение капитала на одного работника - это та часть продукции, которая не потребляется, за вычетом нормы амортизации капитала. Таким образом, инвестиции - это то же самое, что и${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ dot {k}} = {\ tfrac {\ mathrm {d} k} {\ mathrm {d} t}}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f (k)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ delta \,}$экономия .

Второе уравнение модели является решением социальных планировщиков задачи «ы максимизации функции социального обеспечения , , которая состоит из потока экспоненциально сниженной мгновенной полезности от потребления, где является учетной ставка отражает предпочтение времени . Предполагается , что экономика населена индивиды, таким образом, что контроль оптимальной задачу можно сформулировать в терминах бесконечно жил репрезентативного агента с временным инвариантно полезности: . Предполагается, что функция полезности строго возрастает (т. Е. Нет точки блаженства${\ Displaystyle U_ {0} = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ rho t} U (C) \, \ mathrm {d} t}$${\ displaystyle \ rho \ in (0, \ infty)}$${\ Displaystyle U (C) = Lu (c) = L_ {0} e ^ {nt} u (c)}$) и вогнутая , с , ^{[примечание 2],} где - сокращенное обозначение предельной полезности потребления . Приведя начальную популяцию к единице, проблему можно сформулировать так:${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle \ lim _ {с \ к 0} и_ {с} = \ infty}$${\ displaystyle u_ {c}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ partial u} {\ partial c}}}$${\ displaystyle L_ {0}}$

${\ displaystyle \ max _ {c} U_ {0} = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- (\ rho -n) t} u (c) \, \ mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\text{subject to}}\quad c=f(k)-(n+\delta )k-{\dot {k}}}$

где задан начальный ненулевой акционерный капитал . Решение этой проблемы, как правило , найти с помощью функции Гамильтона , ^{[примечание 3] [примечание 4]} представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение , которое описывает эволюцию оптимального потребления,${\displaystyle k(0)=k_{0}>0}$

${\displaystyle {\dot {c}}=-{\frac {u_{c}(c)}{c\cdot u_{cc}(c)}}\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\cdot c}$

которое известно как правило Кейнса – Рамсея . ^[5] Термин , где сокращенно обозначают предельный продукт капитала , отражает предельную прибыль на чистые инвестиции . Выражение отражает кривизну функции полезности; его обратная величина известна как (межвременная) эластичность замещения и указывает, насколько репрезентативный агент желает сгладить потребление с течением времени. Часто предполагается , что эта упругость положительная постоянная, т .${\displaystyle f_{k}(k)-\delta }$${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial k}}}$${\displaystyle -\left.u_{c}(c)\right/c\cdot u_{cc}(c)}$${\displaystyle \sigma =-\left.c\cdot u_{cc}(c)\right/u_{c}(c)>0}$

Два связанных дифференциальных уравнения и образуют динамическую систему Рамсея – Касса – Купманса . Его устойчивое состояние , которое определяется установкой и равным нулю, задается парой, неявно определяемой${\displaystyle k}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\dot {k}}}$${\displaystyle {\dot {c}}}$${\displaystyle (k^{\ast },c^{\ast })}$

${\displaystyle f_{k}\left(k^{\ast }\right)=\delta +\rho \quad {\text{and}}\quad c^{\ast }=f\left(k^{\ast }\right)-(n+\delta )k^{\ast }}$

Качественное утверждение об устойчивости решения требует линеаризации полиномом Тейлора первого порядка${\displaystyle (k^{\ast },c^{\ast })}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {k}}\\{\dot {c}}\end{bmatrix}}\approx \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast }){\begin{bmatrix}(k-k^{\ast })\\(c-c^{\ast })\end{bmatrix}}}$

где - матрица Якоби, вычисленная в установившемся режиме, ^{[примечание 5]} определяется как${\displaystyle \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast })}$

${\displaystyle \mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)={\begin{bmatrix}\rho -n&-1\\{\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }&0\end{bmatrix}}}$

которая имеет определитель, поскольку всегда положительна, положительна по предположению и только отрицательна, поскольку является вогнутой . Поскольку определитель равен произведению собственных значений , собственные значения должны быть действительными и противоположными по знаку. ^[6] Следовательно, согласно теореме о стабильном многообразии , равновесие является седловой точкой и существует единственное устойчивое плечо, или «седловой путь», которое сходится к точке равновесия, обозначенной синей кривой на фазовой диаграмме. Система называется «устойчивой по седловым путям», поскольку все неустойчивые траектории исключаются условием «отсутствия схемы Понци »: ^[7]${\displaystyle \left|\mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)\right|={\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }<0}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle f_{kk}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }k\cdot e^{-\int _{0}^{t}\left(f_{k}-n-\delta \right)\mathrm {d} s}\geq 0}$

подразумевая, что приведенная стоимость основного капитала не может быть отрицательной. ^{[примечание 6]}

История [ править ]

В этом разделе несколько вопросов. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Этот раздел требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Модель Рэмси – Касса – Купманса»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) Этот раздел, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверив сделанные утверждения и добавив встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Декабрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Этот раздел может придать чрезмерный вес определенным идеям, инцидентам или противоречиям . Пожалуйста, помогите улучшить его , переписав сбалансированным образом с учетом различных точек зрения. ( Декабрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Спир и Янг повторно исследуют историю оптимального роста в 1950-х и 1960-х годах ^[8], частично сосредотачиваясь на правдивости заявленного одновременного и независимого развития «Оптимального роста в агрегированной модели накопления капитала» Кэсса (опубликовано в 1965 г. в « Обзоре экономических исследований» ) и «О концепции оптимального экономического роста» Тьяллинга Купмана (опубликовано в «Неделе исследований эконометрического подхода к планированию развития», 1965 г., Рим: Папская академия наук).

На протяжении своей жизни ни Касс, ни Купманс никогда не предполагали, что их результаты, характеризующие оптимальный рост в односекторной модели непрерывного роста, были чем-то иным, кроме «одновременного и независимого». То, что вопрос приоритета когда-либо стал предметом обсуждения, было связано только с тем, что в опубликованной версии работы Купманса он процитировал главу из тезиса Касса, которая позже стала RES.бумага. В своей статье Купманс заявляет в сноске, что Касс независимо получил условия, аналогичные тем, что находит Купманс, и что Касс также рассматривает в своей статье предельный случай, когда учетная ставка стремится к нулю. Со своей стороны, Касс отмечает, что «после завершения первоначальной версии этой статьи наше внимание привлек очень похожий анализ Купманса. Мы опираемся на его результаты при обсуждении предельного случая, когда эффективная социальная ставка дисконтирования обращается к нулю» . В интервью, которое Касс дал Macroeconomic Dynamics , он благодарит Купманса за то, что он указал ему на предыдущую работу Фрэнка Рэмси, утверждая, что был смущен тем, что не знал о ней, но ничего не говорит, чтобы развеять основное утверждение, что его работа и Купманс были в ней. факт независимый.

Спир и Янг оспаривают эту историю, основываясь на ранее упущенной из виду рабочей версии статьи Купманса ^[9], которая послужила основой для часто цитируемой презентации Купманса на конференции, проведенной Папской академией наук в октябре 1963 года ^{[10]. ]} В этом документе для обсуждения Cowles есть ошибка. Купманс утверждает в своем основном результате, что уравнения Эйлера необходимы и достаточны для характеристики оптимальных траекторий в модели, потому что любые решения уравнений Эйлера, которые не сходятся к оптимальному установившемуся состоянию, столкнутся либо с нулевым потреблением, либо с нулевой границей капитала в конечное время. Эта ошибка, по-видимому, была представлена ​​на конференции в Ватикане, хотя на момент ее представления Купмансом ни один из участников не прокомментировал проблему. Это можно сделать вывод, потому что обсуждение после каждой презентации доклада на конференции в Ватикане дословно сохраняется в томе конференции.

В обсуждении тома Ватикана после презентации статьи Эдмона Малинво проблема действительно возникает из-за того, что Малинво явно включил в свою статью так называемое «условие трансверсальности» (которое Малинво называет Условием I). В конце презентации Купманс спрашивает Малинво, не так ли, что Условие I просто гарантирует, что решения уравнений Эйлера, которые не сходятся к оптимальному установившемуся состоянию, достигают границы за конечное время. Малинво отвечает, что это не так, и предлагает Купману взглянуть на пример с функциями полезности журнала и производственными функциями Кобба-Дугласа.

В этот момент Купманс, очевидно, осознает, что у него есть проблема, но, основываясь на запутанном приложении к более поздней версии статьи, выпущенной после конференции в Ватикане, он, кажется, не может решить, как решить проблему, поднятую Условием I Малинво.

Из интервью по макроэкономической динамике с Кассом ясно, что Купманс встретился с научным руководителем Касса, Хирофуми Удзавой , на зимних собраниях Эконометрического общества в январе 1964 года, где Удзава сообщил ему, что его ученик [Касс] уже решил эту проблему. . Затем Удзава, должно быть, предоставил Купмансу копию главы диссертации Касса, которую он, по-видимому, прислал под видом Технического отчета IMSSS, который Купманс цитировал в опубликованной версии своей статьи. Слово «обличие» здесь уместно, потому что номер ТУ, указанный в цитировании Купманса, указывал бы на дату выпуска отчета в начале 1950-х годов, чего явно не было.

В опубликованной версии статьи Купманса он налагает новое условие Альфа в дополнение к уравнениям Эйлера, заявляя, что единственная допустимая траектория среди тех, которые удовлетворяют уравнениям Эйлера, - это та, которая сходится к оптимальному установившемуся равновесию модели. Этот результат получен в статье Касса посредством наложения условия трансверсальности, которое Касс вывел из соответствующих разделов книги Льва Понтрягина . ^[11] Спир и Янг предполагают, что Купманс выбрал этот путь, потому что не хотел, чтобы он «заимствовал» технологию трансверсальности Малинво или Касса.

Основываясь на этом и другом исследовании вклада Малинво в 1950-е годы - в частности, на его интуитивном понимании важности условия трансверсальности - Спир и Янг предполагают, что неоклассическую модель роста лучше назвать моделью Рамсея-Малинво-Касса, чем установленной моделью Рамсея– Почетный знак Кэсс-Купманса.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Аджемоглу, Дарон (2009). «Неоклассическая модель роста» . Введение в современный экономический рост . Принстон: Издательство Принстонского университета. С. 287–326. ISBN 978-0-691-13292-1.
• Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавьер (2004). «Модели роста с оптимизацией потребителей» . Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 85–142. ISBN 978-0-262-02553-9.
• Бенасси, Жан-Паскаль (2011). «Модель Рэмси» . Макроэкономическая теория . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 145–160. ISBN 978-0-19-538771-1.
• Бланшар, Оливье Жан ; Фишер, Стэнли (1989). «Потребление и инвестиции: основные модели бесконечного горизонта» . Лекции по макроэкономике . Кембридж: MIT Press. С. 37–89. ISBN 978-0-262-02283-5.
• Мяо, Цзяньцзюнь (2014). «Неоклассические модели роста» . Экономическая динамика в дискретном времени . Кембридж: MIT Press. С. 353–364. ISBN 978-0-262-02761-8.
• Новалес, Альфонсо ; Фернандес, Эстер; Руис, Хесус (2009). «Оптимальный рост: анализ непрерывного времени» . Экономический рост: теория и численные методы решения . Берлин: Springer. С. 101–154. ISBN 978-3-540-68665-1.
• Ромер, Дэвид (2011). «Модели бесконечного горизонта и перекрывающихся поколений». Продвинутая макроэкономика (четвертое изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 49–77. ISBN 978-0-07-351137-5.

Внешние ссылки [ править ]

• Обсуждение оригинальной статьи Рэмси Орацио Аттанасио на YouTube