В математике , в области топологии и функционального анализа , то теорема Андерсона-Кадеца состояний [1] , что любые два бесконечномерные , разъемные банаховы пространства , или, в более общем случае , Фреше , являются гомеоморфными как топологические пространства. Теорема была доказана Михаилом Кадетом (1966) и Ричардом Дэвисом Андерсоном .
Заявление
Каждое бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше гомеоморфно , То декартово произведение из счетного числа копий реальной линии.
Предварительные мероприятия
Kadec norm: Норма на линейном нормированном пространстве называется нормой Кадека по отношению к тотальному подмножеству дуального пространства если для каждой последовательности выполняется следующее условие:
- Если для а также , тогда .
Теорема Эйдельхейта : пространство Фреше либо изоморфно банаховому пространству, либо имеет фактор-пространство, изоморфное .
Теорема Кадека о ренормировке: всякое сепарабельное банахово пространство допускает норму Кадека относительно счетного тотального подмножества из . Новая норма эквивалентна исходной норме из . Набор можно взять любое плотное счетное подмножество слабой звезды единичного шара
Набросок доказательства
В приведенном ниже аргументе обозначает бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше, а отношение топологической эквивалентности (наличие гомеоморфизма).
Отправной точкой доказательства теоремы Андерсона – Кадека является доказательство Кадека, что любое бесконечномерное сепарабельное банахово пространство гомеоморфно .
Из теоремы Эйдельхейта достаточно рассмотреть пространства Фреше, не изоморфные банаховому пространству. В этом случае у них есть фактор, изоморфный. Результат Бартла-Грейвса-Майкла доказывает, что тогда
для некоторого пространства Фреше .
С другой стороны, является замкнутым подпространством счетного бесконечного произведения сепарабельных банаховых пространств сепарабельных банаховых пространств. Тот же результат Бартла-Грейвса-Майкла применился к дает гомеоморфизм
для некоторого пространства Фреше . Из результата Кадека счетное произведение бесконечномерных сепарабельных банаховых пространств гомеоморфен .
Доказательство теоремы Андерсона – Кадека состоит из последовательности эквивалентностей
Заметки
- ^ Бессага, C .; Пелчинский, А. (1975). Избранные темы бесконечномерной топологии . Panstwowe wyd. наукове. п. 189.
Рекомендации
- Бессага, Ц .; Pełczyński, A. (1975), Избранные темы в бесконечномерной топологии , Monografie Matematyczne, Warszawa: PWN.
- Торунчик, Х. (1981), Характеризация топологии гильбертова пространства , Fundamenta Mathematicae, стр. 247–262.