Пятно Араго

В оптике , то Пятно Пуассон , Пуассон пятно , ^[1]^[2] или пятно Френеля ^[3] является яркой точкой , которая появляется в центре кругового объекта тени из - за дифракции Френеля . ^[4]^[5]^[6]^[7] Это место играет важную роль в открытии в волновых природах от света и является обычным способом , чтобы продемонстрировать , что свет ведет себя как волны (например, в студентах физики лабораторных упражнений) .

Точечный эксперимент Араго. Точечный источник освещает круглый объект, отбрасывая тень на экран. В центре тени появляется яркое пятно из-за дифракции , что противоречит предсказанию геометрической оптики .

Фотография пятна Араго в тени кругового препятствия диаметром 5,8 мм.

Численное моделирование интенсивности монохроматического света с длиной волны λ = 0,5 мкм за круглым препятствием радиусом R = 5 мкм = 10λ .

">

Воспроизвести медиа

Формирование спота Араго (выберите "Источник WebM" для хорошего качества)

Пятно Араго формируется в тени

Базовая экспериментальная установка требует точечного источника, такого как освещенное точечное отверстие или расходящийся лазерный луч . Размеры установки должны соответствовать требованиям дифракции Френеля . А именно, число Френеля должно удовлетворять

{\ Displaystyle F = {\ гидроразрыва {d ^ {2}} {\ ell \ lambda}} \ gtrsim 1,}

где

d

- диаметр круглого объекта,

ℓ

- расстояние между объектом и экраном, а

λ - длина волны источника.

Наконец, край круглого предмета должен быть достаточно гладким.

В совокупности эти условия объясняют, почему яркое пятно не встречается в повседневной жизни. Однако с доступными сегодня лазерными источниками нет необходимости проводить эксперимент с пятном Араго. ^[8]

В астрономии пятно Араго также можно наблюдать на сильно расфокусированном изображении звезды в ньютоновский телескоп . Здесь звезда представляет собой почти идеальный точечный источник на бесконечности, а вторичное зеркало телескопа представляет собой круговое препятствие.

Когда свет падает на круглое препятствие, принцип Гюйгенса гласит, что каждая точка в плоскости препятствия действует как новый точечный источник света. Свет, исходящий из точек на окружности препятствия и идущий к центру тени, проходит точно такое же расстояние, поэтому весь свет, проходящий близко от объекта, попадает на экран синхронно и конструктивно мешает . Это приводит к появлению яркого пятна в центре тени, где геометрическая оптика и теории частиц света предсказывают, что света вообще не должно быть.

История

В начале 19 века идея о том, что свет не распространяется просто по прямым линиям, стала популярной. Томас Янг опубликовал свой эксперимент с двумя щелями в 1807 году. ^[9] Первоначальный эксперимент с пятнами Араго был проведен десятилетием позже и стал решающим экспериментом по вопросу о том, является ли свет частицей или волной. Таким образом, это пример Experimentum crucis .

В то время многие поддерживали корпускулярную теорию света Исаака Ньютона, в том числе теоретик Симеон Дени Пуассон . ^[10] В 1818 году Французская академия наук объявила конкурс по объяснению свойств света, в котором Пуассон был одним из членов судейской комиссии. Инженер - строитель Огюстен-Жан Френель принял участие в этом конкурсе, представив новую волновую теорию света . ^[11]

Пуассон подробно изучил теорию Френеля и, будучи сторонником теории частиц света, искал способ доказать ее ошибочность. Пуассон подумал, что он обнаружил изъян, когда он утверждал, что следствием теории Френеля является то, что в тени кругового препятствия будет существовать осевое яркое пятно, где должна быть полная темнота согласно теории частиц света. Поскольку пятно Араго нелегко наблюдать в повседневных ситуациях, Пуассон интерпретировал его как абсурдный результат и что он должен опровергнуть теорию Френеля.

Однако глава комитета Доминик-Франсуа-Жан Араго (который, кстати, позже стал премьер-министром Франции) решил провести эксперимент более подробно. Он прилепил металлический диск диаметром 2 мм к стеклянной пластине с помощью воска. ^[12] Ему удалось наблюдать предсказанное пятно, что убедило большинство ученых в волновой природе света и принесло победу Френелю. ^[13]

Позже Араго заметил, что это явление (позднее известное как «пятно Пуассона» или «пятно Араго») уже наблюдалось Делислем ^[14] и Маральди ^[15] столетием раньше.

Это только оказалось гораздо позже (в одном из Альберта Эйнштейна «с Annus Mirabilis бумаг ) , что свет может быть в равной степени , как описано частицы ( двойственности волна-частица света).

Теория

Обозначения для расчета амплитуды волны в точке P ₁ от сферического точечного источника в точке P ₀ .

В основе волновой теории Френеля лежит принцип Гюйгенса-Френеля , который гласит, что каждая свободная точка волнового фронта становится источником вторичного сферического вейвлета и что амплитуда оптического поля E в точке на экране задается суперпозиция всех этих вторичных вейвлетов с учетом их относительных фаз. ^[16] Это означает, что поле в точке P ₁ на экране задается поверхностным интегралом:

{\ Displaystyle U (P_ {1}) = {\ frac {Ae ^ {\ mathbf {i} kr_ {0}}} {r_ {0}}} \ int _ {S} {\ frac {e ^ {\ mathbf {i} kr_ {1}}} {r_ {1}}} K (\ chi) \, dS,}

где коэффициент наклона ${\ Displaystyle К (\ чи)}$ который гарантирует, что вторичные вейвлеты не распространяются в обратном направлении, определяется выражением

{\ Displaystyle К (\ чи) = {\ гидроразрыва {\ mathbf {я}} {2 \ лямбда}} (1+ \ соз (\ чи))}

а также

A - амплитуда исходной волны

{\ textstyle к = {\ гидроразрыва {2 \ pi} {\ lambda}}}

это волновое число

S - поверхность без препятствий.

Первый член вне интеграла представляет колебания от исходной волны на расстоянии r ₀ . Точно так же член внутри интеграла представляет колебания вторичных вейвлетов на расстояниях r ₁ .

Чтобы получить интенсивность за круглым препятствием с помощью этого интеграла, предполагается, что экспериментальные параметры удовлетворяют требованиям режима дифракции в ближней зоне (размер круглого препятствия велик по сравнению с длиной волны и мал по сравнению с расстояниями g = P ₀ C и b = CP ₁ ). Переход к полярным координатам дает интеграл для круглого объекта радиуса a (см., Например, Born and Wolf ^[17] ):

{\ Displaystyle U (P_ {1}) = - {\ frac {\ mathbf {i}} {\ lambda}} {\ frac {Ae ^ {\ mathbf {i} k (g + b)}} {gb} } 2 \ pi \ int _ {a} ^ {\ infty} e ^ {\ mathbf {i} k {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {g}} + {\ frac {1} {b}} \ right) r ^ {2}} r \, dr.}

Осевая интенсивность в центре тени небольшого круглого препятствия сходится к интенсивности без препятствий.

Этот интеграл можно решить численно (см. Ниже). Если g велико, а b мало, то угол ${\ displaystyle \ chi}$ нельзя пренебречь, можно записать интеграл для осевого случая (точка P ₁ находится в центре тени) как (см. ^[18] ):

{\ displaystyle U (P_ {1}) = {\ frac {Ae ^ {\ mathbf {i} kg}} {g}} {\ frac {b} {\ sqrt {b ^ {2} + a ^ {2 }}}} e ^ {\ mathbf {i} k {\ sqrt {b ^ {2} + a ^ {2}}}}.}.}

Интенсивность источника, равная квадрату амплитуды поля, равна ${\ textstyle I_ {0} = \ left | {\ frac {1} {g}} Ae ^ {\ mathbf {i} kg} \ right | ^ {2}}$ и яркость на экране ${\ Displaystyle I = \ влево | U (P_ {1}) \ вправо | ^ {2}}$ . Таким образом, осевая интенсивность как функция расстояния b определяется выражением:

{\ displaystyle I = {\ frac {b ^ {2}} {b ^ {2} + a ^ {2}}} I_ {0}.}

Это показывает, что интенсивность на оси в центре тени стремится к интенсивности источника, как если бы круглый объект вообще не присутствовал. Более того, это означает, что пятно Араго присутствует даже на расстоянии нескольких диаметров препятствия позади диска.

Расчет дифракционных изображений

Чтобы рассчитать полное дифракционное изображение, видимое на экране, необходимо учитывать поверхностный интеграл из предыдущего раздела. Больше нельзя использовать круговую симметрию, поскольку линия между источником и произвольной точкой на экране не проходит через центр круглого объекта. С функцией диафрагмы ${\ Displaystyle г (г, \ тета)}$ который равен 1 для прозрачных частей плоскости объекта и 0 в противном случае (т.е. он равен 0, если прямая линия между источником и точкой на экране проходит через блокирующий круглый объект). интеграл, который необходимо решить, определяется как:

{\ Displaystyle U (P_ {1}) \ propto \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ infty} g (r, \ theta) e ^ {{\ frac {\ mathbf {i} \ pi \ rho ^ {2}} {\ lambda}} \ left ({\ frac {1} {g}} + {\ frac {1} {b}} \ right)} \ rho \, d \ rho \, d \ theta.}

Численный расчет интеграла с использованием правила трапеций или правила Симпсона неэффективен и становится численно нестабильным, особенно для конфигураций с большим числом Френеля . Однако можно решить радиальную часть интеграла, так что численным остается только интегрирование по азимутальному углу. ^[19] Для конкретного угла необходимо решить линейный интеграл для луча с началом в точке пересечения прямой P ₀ P ₁ с круговой плоскостью объекта. Вклад для конкретного луча с азимутальным углом ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$ и прохождение прозрачной части плоскости объекта из ${\ displaystyle r = s}$ к ${\ Displaystyle г = т}$ является:

{\ Displaystyle R (\ theta _ {1}) \ propto e ^ {{\ frac {\ pi} {2}} \ mathbf {i} s ^ {2}} - e ^ {{\ frac {\ pi} {2}} \ mathbf {i} t ^ {2}}.}

Таким образом , для каждого угла надо вычислить точку пересечения ( ы ) луча с круговым объектом , а затем просуммировать вклады ${\ Displaystyle I (\ theta _ {1})}$ для определенного количества углов от 0 до ${\ displaystyle 2 \ pi}$ . Результаты такого расчета показаны на следующих изображениях.

На изображениях показаны смоделированные пятна Араго в тени диска разного диаметра (4 мм, 2 мм, 1 мм - слева направо) на расстоянии 1 м от диска. Точечный источник имеет длину волны 633 нм (например, гелий-неоновый лазер) и расположен на расстоянии 1 м от диска. Ширина изображения соответствует 16 мм.

Экспериментальные аспекты

Интенсивность и размер

Для идеального точечного источника интенсивность пятна Араго равна интенсивности невозмущенного волнового фронта . Только ширина пика интенсивности пятна Араго зависит от расстояний между источником, круглым объектом и экраном, а также от длины волны источника и диаметра круглого объекта. Это означает, что уменьшение длины волны источника можно компенсировать увеличением расстояния l между круглым объектом и экраном или уменьшением диаметра круглого объекта.

Поперечное распределение интенсивности на экране фактически имеет форму квадрата нулевой функции Бесселя первого рода при приближении к оптической оси и при использовании источника плоской волны (точечный источник на бесконечности): ^[20]

{\ Displaystyle U (P_ {1}, r) \ propto J_ {0} ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi rd} {\ lambda b}} \ right)}

где

r - расстояние точки P ₁ на экране от оптической оси

d - диаметр круглого объекта

λ - длина волны

b - расстояние между круглым объектом и экраном.

На следующих изображениях показано радиальное распределение интенсивности смоделированных изображений пятна Араго, приведенных выше:

Красные линии на этих трех графиках соответствуют смоделированным изображениям выше, а зеленые линии были вычислены путем применения соответствующих параметров к квадрату функции Бесселя, приведенной выше.

Конечный размер источника и пространственная согласованность

Основная причина, по которой пятно Араго трудно наблюдать в круговых тенях от обычных источников света, заключается в том, что такие источники света плохо соответствуют точечным источникам. Если источник волны имеет конечный размер S, то пятно Араго будет иметь протяженность, равную Sb / g , как если бы круглый объект действовал как линза. ^[16] В то же время интенсивность пятна Араго уменьшается по сравнению с интенсивностью невозмущенного волнового фронта. Определение относительной интенсивности ${\ displaystyle I _ {\ text {rel}}}$ как интенсивность, деленная на интенсивность невозмущенного волнового фронта, относительную интенсивность для протяженного круглого источника диаметром w можно точно выразить с помощью следующего уравнения: ^[21]

{\ displaystyle I _ {\ text {rel}} (w) = J_ {0} ^ {2} \ left ({\ frac {wR \ pi} {g \ lambda}} \ right) + J_ {1} ^ { 2} \ left ({\ frac {wR \ pi} {g \ lambda}} \ right)}

где ${\ displaystyle J_ {0}}$ а также ${\ displaystyle J_ {1}}$ - функции Бесселя первого рода. R - радиус диска, отбрасывающего тень, ${\ displaystyle \ lambda}$ длина волны и g расстояние между источником и диском. Для больших источников применяется следующее асимптотическое приближение: ^[21]

{\ displaystyle I _ {\ text {rel}} (w) \ приблизительно {\ frac {2g \ lambda} {\ pi ^ {2} wR}}}

Отклонение от округлости

Если поперечное сечение круглого объекта немного отклоняется от его круглой формы (но все еще имеет острый край в меньшем масштабе), форма точечного источника Араго изменяется. В частности, если объект имеет эллипсоидальное поперечное сечение, пятно Араго имеет форму эволюты . ^[22] Обратите внимание, что это только в том случае, если источник близок к идеальному точечному источнику. Из протяженного источника на пятно Араго влияет лишь незначительное влияние, поскольку можно интерпретировать пятно Араго как функцию распределения точек . Следовательно, изображение расширенного источника только становится размытым из-за свертки с функцией рассеяния точки, но не уменьшается по всей интенсивности.

Шероховатость поверхности круглого объекта

Пятно Араго очень чувствительно к мелким отклонениям от идеального круглого сечения. Это означает, что небольшая шероховатость поверхности круглого объекта может полностью погасить яркое пятно. Это показано на следующих трех диаграммах, которые представляют собой моделирование пятна Араго от диска диаметром 4 мм ( g = b = 1 м):

Моделирование включает регулярную синусоидальную гофру круглой формы с амплитудой 10 мкм, 50 мкм и 100 мкм соответственно. Обратите внимание, что гофра на краю 100 мкм практически полностью удаляет центральное яркое пятно.

Этот эффект лучше всего можно понять, используя концепцию зоны Френеля . Поле, передаваемое радиальным сегментом, который выходит из точки на краю препятствия, обеспечивает вклад, фаза которого тесно связана с положением краевой точки относительно зон Френеля. Если разброс радиуса препятствия намного меньше ширины зоны Френеля у края, вклады от радиальных сегментов примерно совпадают по фазе и конструктивно интерферируют . Однако, если случайные гофры на краях имеют амплитуду, сравнимую или превышающую ширину этой соседней зоны Френеля, вклады радиальных сегментов больше не совпадают по фазе и компенсируют друг друга, уменьшая интенсивность пятна Араго.

Соседняя зона Френеля приблизительно определяется следующим образом: ^[23]

{\ displaystyle \ Delta r \ приблизительно {\ sqrt {r ^ {2} + \ lambda {\ frac {gb} {g + b}}}} - r.}

Гофра на краю не должна превышать 10% от этой ширины, чтобы можно было увидеть почти идеальное пятно Араго. В приведенном выше моделировании с диском диаметром 4 мм прилегающая зона Френеля имеет ширину около 77 мкм.

Пятно Араго с волнами материи

В 2009 году был продемонстрирован эксперимент с пятнами Араго со сверхзвуковым расширяющимся пучком молекул дейтерия (пример волн нейтральной материи ). ^[23] Материальные частицы, ведущие себя как волны, известны из квантовой механики . Волновая природа частиц фактически восходит к гипотезе де Бройля ^[24], а также экспериментам Дэвиссона и Гермера . ^[25] Пятно Араго из электронов, которые также составляют волны материи, можно наблюдать в просвечивающий электронный микроскоп при исследовании круговых структур определенного размера.

Наблюдение пятна Араго с большими молекулами, доказывающее, таким образом, их волновую природу, является темой текущих исследований. ^[23]

Другие приложения

Помимо демонстрации волнового поведения, спот Араго также имеет несколько других применений. Одна из идей - использовать точку Араго в качестве ориентира прямой линии в системах выравнивания. ^[26] Другой способ - исследовать аберрации в лазерных лучах, используя чувствительность пятна к аберрациям луча . ^[20] Наконец, арагоскоп был предложен как метод значительного улучшения дифракционно ограниченного разрешения космических телескопов. ^[27]^[28]

Смотрите также

Арагоскоп
Скрытый диск

Рекомендации

↑ Закон, Джонатан; Ренни, Ричард (2015), «Пятно Пуассона», Физический словарь , Oxford University Press , стр. 444, ISBN 978-0198714743, СБН-10: 0198714742
^ Гехт, Юджин; Zajac, Alfred (1974), «10.3,« Дифракция » », « Оптика» (1-е изд.), Addison Wesley , p. 374, ISBN 0-201-02835-2
^ "Хотя это явление часто называют пятном Пуассона, Пуассон, вероятно, не был счастлив увидеть его, потому что он поддерживал волновую модель света. Пятно иногда называют пятном Френеля, потому что оно является прямым следствием его работы, и пятном Араго, потому что Араго разработал эксперимент, подтвердивший его существование ». Кац, Дебора М., Физика для ученых и инженеров: основы и связи, предварительное издание, том 2, Cengage Learning, 2015. ISBN 1305537203
^ Педротти, Франк Л .; Педротти, Лено С .; Педротти, Лено М. (2007), Введение в оптику (3-е изд.), Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson Education , стр. 315, ISBN 978-0-13-149933-1
^ Уокер, Джерл (2008), Основы физики (8-е изд.), John Wiley & Sons , стр. 992, ISBN 978-0-470-04472-8
^ Оганян, Ханс (1989), Физика (2-е изд.), У.В. Нортон , стр. 984 , ISBN 0-393-95786-1
^ Хехт, Юджин (2002), Оптика (4-е изд.), Pearson Education, стр. 494, ISBN 0-321-18878-0
^ http://www.princeton.edu/~rvdb/images/Questar/PoissonSpot.html
^ Янг, Томас (1807), Курс лекций по естественной философии и механическим искусствам , Лондон: Джозеф Джонсон
^ Ньютон, Исаак (1704), Opticks: Or, Трактат об отражениях, преломлениях, перегибах и цветах света , Лондон: Королевское общество
^ Френель, AJ (1868), OEuvres Complete 1 , Paris: Imprimerie impériale
Перейти ↑ Fresnel 1868 , p. 369
^ Араго (1819 г.). "Rapport fait par M. Arago à l'Académie des Sciences, au nom de la Commission qui avait été de de dexaminer les Mémoires envoyés au concours pour le prix de la дифракция" [Доклад г-на Араго в Академию наук от имени комиссии, которой было поручено рассмотрение мемуаров, представленных на соискание дифракционной премии.]. Annales de Chimie et de Physique . 2-я серия (на французском языке). 11 : 5–30. С п. 16: "L'un de vos commissaires, M. Poisson, avait déduit des intégrales rapportées par l'auteur, le résultat singulier que le center de l'ombre d'un écran circaire opaque devait, lorsque les rayons y pénétraient sous des incidences" peu obliques, être aussi éclairé que si l'écran n'existait pas. Cette conséquence a été soumise à l'épreuve d'une expérience directe, et l'observation a parfaitement confirmé le calc (e) ". (Один из ваших уполномоченных, г-н Пуассон, вывел из интегралов, [которые были] сообщены автором [то есть г-ном Френелем], странный результат, что центр тени непрозрачного круглого экрана должен - когда [световые] лучи проникают в него [то есть в тень] при слегка наклонном падении - также они освещаются, как если бы экрана не существовало. Этот результат был подвергнут проверке в прямом эксперименте, и наблюдение полностью подтвердило расчет ( д).)
^ Делиль, Ж.-Н. (1715). «Sur l'expérience que j'ai rapportée à l'Academie d'un anneau lumineux semblable à celui que l'on apperçoit autour de la lune dans les eclipses totales du soleil» [Об опыте, который я сообщил Академии об одном светящееся кольцо, подобное тому, которое видят вокруг Луны во время полного солнечного затмения]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (на французском языке): 166–169. Делайл упоминает, что когда маленький шар освещался солнечным светом, тень шара содержала чередующиеся яркие и темные кольца, концентрические с центром тени шара.
^ Маральди, Г. Ф. (1723 г.). «Diverses expèriences d'optique» [Различные оптические эксперименты]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (на французском языке): 111–143.С п. 140: «La lumiere plus grande au milieu des boules plus petites, fait voir qu'elle circuitle en plus grande abondance & plus facilement autour des petites boules qu'autour des grandes». (Больше света в середине меньших шаров показывает, что он [то есть свет] распространяется в большем количестве и легче вокруг маленьких шаров, чем вокруг больших [шаров].) Рис. 8 на Таблице 6 (после стр. 142) показывает свет в центре тени шара.
^ а б Зоммерфельд, Арнольд (1978), Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik (на немецком языке), 4 (3-е изд.), Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-87144-377-8
^ Родился, Макс; Вольф, Эмиль (1999), Принципы оптики (7-е, расширенное издание), Cambridge University Press , ISBN 0-521-64222-1
Перейти ↑ Sommerfeld 1978 , p. 186
^ Даугер, Д.Е. (ноябрь 1996 г.), "Моделирование и исследование дифракции Френеля для произвольных двумерных апертур", Comput. Phys. , AIOP, 10 (6): 591-604, Bibcode : 1996ComPh..10..591D , DOI : 10,1063 / 1,168584
^ а б Харви, Джеймс Э .; Форгхэм, Джеймс Л. (1984), «Пятно Араго: новое значение для старого явления» , Американский журнал физики , AAPT, 52 (3): 243–247, Bibcode : 1984AmJPh..52..243H , doi : 10,1119 / 1,13681 , архивируются с оригинала на 2013-02-23
^ а б Райзингер, Т; Leufke, PM; Gleiter, H; Хан, Х (2017-03-14). «Об относительной интенсивности пятна Пуассона» . Новый журнал физики . 19 (3): 033022. DOI : 10,1088 / 1367-2630 / aa5e7f . ISSN 1367-2630 .
^ Колсон, Джон; Becknell, GG (1922), "Взаимные дифракционные отношения между круглыми и эллиптическими пластинами", Phys. Rev. , Американское физическое общество , 20 (6): 594-600, Bibcode : 1922PhRv ... 20..594C , DOI : 10,1103 / PhysRev.20.594
^ а б в Райзингер, Томас; Патель, А. Амил; Рейнгрубер, Герберт; Фладишер, Катрин; Эрнст, Вольфганг Э .; Бракко, Джананджело; Смит, Генрих I; Холст, Бодил (2009), "Пятно Пуассона с молекулами" (PDF) , Phys. Rev. A , Американское физическое общество, 79 (5): 053823, Bibcode : 2009PhRvA..79e3823R , DOI : 10,1103 / PhysRevA.79.053823
^ де Бройль, Луи (1923), «Волны и кванты», Nature , 112 (2815): 540, Bibcode : 1923Natur.112..540D , doi : 10.1038 / 112540a0
^ Davisson, C .; Гермер, Л. (1927), "Дифракция электронов на кристалле никеля", Nature , 119 (2998): 558, Bibcode : 1927Natur.119..558D , doi : 10.1038 / 119558a0
^ Feier et al.
^ «Арагоскоп: оптика сверхвысокого разрешения по низкой цене» . НАСА . Проверено 9 февраля +2017 .
^ «Новая концепция космического телескопа может отображать объекты с гораздо более высоким разрешением, чем Хаббл» . CU Смелее сегодня . Проверено 9 февраля +2017 .

[1] Закон, Джонатан; Ренни, Ричард (2015), «Пятно Пуассона», Физический словарь , Oxford University Press , стр. 444, ISBN 978-0198714743, СБН-10: 0198714742

[hecht_and_zajac-2] Гехт, Юджин; Zajac, Alfred (1974), «10.3,« Дифракция » », « Оптика» (1-е изд.), Addison Wesley , p. 374, ISBN 0-201-02835-2

[3] "Хотя это явление часто называют пятном Пуассона, Пуассон, вероятно, не был счастлив увидеть его, потому что он поддерживал волновую модель света. Пятно иногда называют пятном Френеля, потому что оно является прямым следствием его работы, и пятном Араго, потому что Араго разработал эксперимент, подтвердивший его существование ». Кац, Дебора М., Физика для ученых и инженеров: основы и связи, предварительное издание, том 2, Cengage Learning, 2015. ISBN 1305537203

[pedrotti2007-4] Педротти, Франк Л .; Педротти, Лено С .; Педротти, Лено М. (2007), Введение в оптику (3-е изд.), Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson Education , стр. 315, ISBN 978-0-13-149933-1

[walker2008-5] Уокер, Джерл (2008), Основы физики (8-е изд.), John Wiley & Sons , стр. 992, ISBN 978-0-470-04472-8

[ohanian1989-6] Оганян, Ханс (1989), Физика (2-е изд.), У.В. Нортон , стр. 984 , ISBN 0-393-95786-1

[hecht2002-7] Хехт, Юджин (2002), Оптика (4-е изд.), Pearson Education, стр. 494, ISBN 0-321-18878-0

[8] ttp://www.princeton.edu/~rvdb/images/Questar/PoissonSpot.html

[young1807-9] Янг, Томас (1807), Курс лекций по естественной философии и механическим искусствам , Лондон: Джозеф Джонсон

[newton1704-10] Ньютон, Исаак (1704), Opticks: Or, Трактат об отражениях, преломлениях, перегибах и цветах света , Лондон: Королевское общество

[fresnel1868-11] Френель, AJ (1868), OEuvres Complete 1 , Paris: Imprimerie impériale

[fresnel1868_arago-12] Перейти ↑ Fresnel 1868 , p. 369

[13] Араго (1819 г.). "Rapport fait par M. Arago à l'Académie des Sciences, au nom de la Commission qui avait été de de dexaminer les Mémoires envoyés au concours pour le prix de la дифракция" [Доклад г-на Араго в Академию наук от имени комиссии, которой было поручено рассмотрение мемуаров, представленных на соискание дифракционной премии.]. Annales de Chimie et de Physique . 2-я серия (на французском языке). 11 : 5–30. С п. 16: "L'un de vos commissaires, M. Poisson, avait déduit des intégrales rapportées par l'auteur, le résultat singulier que le center de l'ombre d'un écran circaire opaque devait, lorsque les rayons y pénétraient sous des incidences" peu obliques, être aussi éclairé que si l'écran n'existait pas. Cette conséquence a été soumise à l'épreuve d'une expérience directe, et l'observation a parfaitement confirmé le calc (e) ". (Один из ваших уполномоченных, г-н Пуассон, вывел из интегралов, [которые были] сообщены автором [то есть г-ном Френелем], странный результат, что центр тени непрозрачного круглого экрана должен - когда [световые] лучи проникают в него [то есть в тень] при слегка наклонном падении - также они освещаются, как если бы экрана не существовало. Этот результат был подвергнут проверке в прямом эксперименте, и наблюдение полностью подтвердило расчет ( д).)

[delisle1715-14] Делиль, Ж.-Н. (1715). «Sur l'expérience que j'ai rapportée à l'Academie d'un anneau lumineux semblable à celui que l'on apperçoit autour de la lune dans les eclipses totales du soleil» [Об опыте, который я сообщил Академии об одном светящееся кольцо, подобное тому, которое видят вокруг Луны во время полного солнечного затмения]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (на французском языке): 166–169. Делайл упоминает, что когда маленький шар освещался солнечным светом, тень шара содержала чередующиеся яркие и темные кольца, концентрические с центром тени шара.

[maraldi1723-15] Маральди, Г. Ф. (1723 г.). «Diverses expèriences d'optique» [Различные оптические эксперименты]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences ... Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique (на французском языке): 111–143.С п. 140: «La lumiere plus grande au milieu des boules plus petites, fait voir qu'elle circuitle en plus grande abondance & plus facilement autour des petites boules qu'autour des grandes». (Больше света в середине меньших шаров показывает, что он [то есть свет] распространяется в большем количестве и легче вокруг маленьких шаров, чем вокруг больших [шаров].) Рис. 8 на Таблице 6 (после стр. 142) показывает свет в центре тени шара.

[sommerfeld-16] а б Зоммерфельд, Арнольд (1978), Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik (на немецком языке), 4 (3-е изд.), Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-87144-377-8

[bornwolf-17] Родился, Макс; Вольф, Эмиль (1999), Принципы оптики (7-е, расширенное издание), Cambridge University Press , ISBN 0-521-64222-1

[sommerfeldp186-18] Перейти ↑ Sommerfeld 1978 , p. 186

[dauger-19] Даугер, Д.Е. (ноябрь 1996 г.), "Моделирование и исследование дифракции Френеля для произвольных двумерных апертур", Comput. Phys. , AIOP, 10 (6): 591-604, Bibcode : 1996ComPh..10..591D , DOI : 10,1063 / 1,168584

[harvey1984-20] а б Харви, Джеймс Э .; Форгхэм, Джеймс Л. (1984), «Пятно Араго: новое значение для старого явления» , Американский журнал физики , AAPT, 52 (3): 243–247, Bibcode : 1984AmJPh..52..243H , doi : 10,1119 / 1,13681 , архивируются с оригинала на 2013-02-23

[:0-21] а б Райзингер, Т; Leufke, PM; Gleiter, H; Хан, Х (2017-03-14). «Об относительной интенсивности пятна Пуассона» . Новый журнал физики . 19 (3): 033022. DOI : 10,1088 / 1367-2630 / aa5e7f . ISSN 1367-2630 .

[coulson1922-22] Колсон, Джон; Becknell, GG (1922), "Взаимные дифракционные отношения между круглыми и эллиптическими пластинами", Phys. Rev. , Американское физическое общество , 20 (6): 594-600, Bibcode : 1922PhRv ... 20..594C , DOI : 10,1103 / PhysRev.20.594

[reisinger2009-23] а б в Райзингер, Томас; Патель, А. Амил; Рейнгрубер, Герберт; Фладишер, Катрин; Эрнст, Вольфганг Э .; Бракко, Джананджело; Смит, Генрих I; Холст, Бодил (2009), "Пятно Пуассона с молекулами" (PDF) , Phys. Rev. A , Американское физическое общество, 79 (5): 053823, Bibcode : 2009PhRvA..79e3823R , DOI : 10,1103 / PhysRevA.79.053823

[debroglie-24] де Бройль, Луи (1923), «Волны и кванты», Nature , 112 (2815): 540, Bibcode : 1923Natur.112..540D , doi : 10.1038 / 112540a0

[davisson-25] Davisson, C .; Гермер, Л. (1927), "Дифракция электронов на кристалле никеля", Nature , 119 (2998): 558, Bibcode : 1927Natur.119..558D , doi : 10.1038 / 119558a0

[26] Feier et al.

[27] «Арагоскоп: оптика сверхвысокого разрешения по низкой цене» . НАСА . Проверено 9 февраля +2017 .

[28] «Новая концепция космического телескопа может отображать объекты с гораздо более высоким разрешением, чем Хаббл» . CU Смелее сегодня . Проверено 9 февраля +2017 .

[1]