Кратный интеграл

В математике (в частности , в многомерном исчислении ) кратный интеграл — это определенный интеграл функции нескольких действительных переменных , например, $f (x, y)$ или $f (x, y, z)$ . Интегралы функции двух переменных по области в ( плоскости с действительными числами) называются двойными интегралами , а интегралы от функции трех переменных по области в (трехмерном пространстве с действительными числами) называются тройными интегралами . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ^[1] Многократные интегралы от функции с одной переменной см. в формуле Коши для повторного интегрирования .

Точно так же, как определенный интеграл положительной функции одной переменной представляет собой площадь области между графиком функции и $осью$ абсцисс, двойной интеграл положительной функции двух переменных представляет собой объем области между заданной поверхностью функцией (на трехмерной декартовой плоскости, где $z = f (x, y)$ ) и плоскостью, которая содержит ее область определения . ^[1] Если переменных больше, кратный интеграл даст гиперобъемы многомерных функций.

Множественное интегрирование функции от $n$ переменных: $f (x 1, x 2, ..., x n)$ по области $D$ чаще всего представляется вложенными знаками интеграла в обратном порядке выполнения (самый левый знак интеграла вычисляется последним ), за которыми следуют аргументы функции и подынтегрального выражения в правильном порядке (интеграл по крайнему правому аргументу вычисляется последним). Область интегрирования либо представлена символически для каждого аргумента над каждым знаком интеграла, либо сокращена переменной у самого правого знака интеграла: ^[2]

Поскольку понятие первообразной определено только для функций одной действительной переменной, обычное определение неопределенного интеграла не распространяется непосредственно на кратный интеграл.

Разобьем каждый интервал $[a j, b j)$ на конечное семейство $I j$ непересекающихся подинтервалов $i j α$ , причем каждый подынтервал замкнут на левом конце и открыт на правом конце.

Пусть $f : T \to R$ — функция, определенная на $T$ . Рассмотрим разбиение $C$ множества $T$ , определенное выше, такое, что $C$ является семейством $m$ подпрямоугольников $C m$ и

Интеграл как площадь между двумя кривыми.

Двойной интеграл как объем под поверхностью

z знак равно 10 - (Икс 2 - y 2 / 8)

. Прямоугольная область в нижней части тела представляет собой область интегрирования, а поверхность представляет собой график интегрируемой функции двух переменных.

Преобразование декартовых координат в полярные.

Пример преобразования домена из декартовой в полярную.

Цилиндрические координаты.

Сферические координаты.

Пример: двойной интеграл по нормальной области D

Пример области в R3 , ^{нормальной} относительно плоскости xy .

Пример неправильного домена.