В математическом предмете теории узлов среднее число пересечений узла является результатом усреднения по всем направлениям числа пересечений в диаграмме узла, полученной проекцией на плоскость, ортогональную направлению . Среднее число пересечений часто рассматривается в контексте теории физических узлов .
Точнее, если K — гладкий узел, то почти для каждого единичного вектора v , задающего направление, ортогональная проекция на плоскость, перпендикулярную v , дает диаграмму узла , и мы можем вычислить число пересечений, обозначаемое n ( v ). Затем среднее число пересечений определяется как интеграл по единичной сфере: [1]
где dA — форма площади на 2-сфере. Интеграл имеет смысл, потому что набор направлений, где проекция не дает диаграмму узлов, является набором нулевой меры, а n ( v ) локально постоянно, когда оно определено.
Менее интуитивное, но полезное в вычислительном отношении определение - это интеграл , аналогичный интегралу связи Гаусса .
Будет дан вывод, аналогичный выводу интеграла зацепления. Пусть K — узел, параметризованный
(Технически нужно избегать диагонали: точки, где s = t .) Мы хотим подсчитать, сколько раз точка (направление) покрывается g . Это будет подсчитывать для общего направления количество пересечений на диаграмме узлов, заданной проецированием вдоль этого направления. Используя степень карты , как и в интеграле зацепления, можно было бы подсчитать количество пересечений со знаком , что дало бы кривизну . Используйте g , чтобы вернуть форму площади на S 2 к тору T 2 = S 1 × S 1. Вместо того, чтобы интегрировать эту форму, интегрируйте ее абсолютное значение, чтобы избежать проблемы со знаком. Полученный интеграл равен [2]