В топологии , то степень из непрерывного отображения между двумя компактными ориентированными многообразиями той же размерностью является числом , которое представляет собой число раза , что домен коллектор обернуто вокруг диапазона коллектора при отображении. Степень всегда целое число , но может быть положительным или отрицательным в зависимости от ориентации.
Степень отображения была впервые определена Brouwer , [1] , которые показали , что степень является гомотопическим инвариантом ( инвариантный среди гомотопий), и использовал его для доказательства Brouwer фиксированной точки теоремы . В современной математике степень отображения играет важную роль в топологии и геометрии . В физике степень непрерывной карты (например, карта из пространства в некоторый набор параметров порядка) является одним из примеров топологического квантового числа .
Определения степени [ править ]
От S n до S n [ править ]
Самый простой и наиболее важным случаем является Степенью непрерывного отображения от -сферы к себе (в случае , это называется обмоткой номер ):
Позвольте быть непрерывным отображением. Затем индуцирует гомоморфизм , где - th группа гомологий . Принимая во внимание тот факт, что мы видим, что это должно иметь форму для некоторого фиксированного . Это тогда называется степень .
Между коллекторами [ править ]
Алгебраическая топология [ править ]
Пусть X и Y - замкнутые связные ориентированные m -мерные многообразия . Ориентируемость многообразия следует , что ее верхняя группа гомологии изоморфна Z . Выбор ориентации означает выбор генератора топ-группы гомологий.
Непрерывное отображение f : X → Y индуцирует гомоморфизм f * из H m ( X ) в H m ( Y ). Пусть [ X ], соотв. [ Y ] - выбранный образующий H m ( X ), соответственно. Н м ( Y ) (или фундаментальный класс из X , Y ). Тогда степень из F определяется как F * ([ Х]). Другими словами,
Если у в Y и F -1 ( у ) представляет собой конечное множество, степень F может быть вычислена, рассматривая м -й локальных групп гомологии по X в каждой точке F -1 ( у ).
Дифференциальная топология [ править ]
На языке дифференциальной топологии, степень гладкого отображения может быть определена следующим образом : если е гладкое отображение, область является компактным многообразием и р является регулярным значением из F , рассмотрят конечное множество
Поскольку p является регулярным значением, в окрестности каждого x i отображение f является локальным диффеоморфизмом (это покрывающее отображение ). Диффеоморфизмы могут быть как сохраняющими ориентацию, так и меняющими ориентацию. Пусть r - количество точек x i, в которых f сохраняет ориентацию, а s - количество точек, в которых f меняет ориентацию. Когда область определения f связана, число r - s не зависит от выбора p (хотя nнет) и один определяет! степени из F , чтобы быть г - с . Это определение совпадает с приведенным выше алгебраическим топологическим определением.
Такое же определение работает для компактных многообразий с границей , но тогда F должен послать границу X на границу Y .
Можно также определить степень по модулю 2 (deg 2 ( f )) так же, как и раньше, но взяв фундаментальный класс в гомологиях Z 2 . В этом случае deg 2 ( f ) является элементом Z 2 ( поле с двумя элементами ), многообразия не обязательно должны быть ориентируемыми, и если n - количество прообразов p, как и раньше, то deg 2 ( f ) равно n по модулю 2. .
Интегрирование дифференциальных форм дает спаривание между (C ∞ -) сингулярными гомологиями и когомологиями де Рама :, где - класс гомологий, представленный циклом, и замкнутая форма, представляющая класс когомологий де Рама. Для гладкого отображения f : X → Y между ориентируемыми m -многообразиями выполняется
где f * и f * - индуцированные отображения на цепях и формах соответственно. Поскольку f * [ X ] = deg f · [ Y ], имеем
для любого м -формы со на Y .
Карты из закрытого региона [ править ]
Если ограниченная область , гладкий, а регулярное значение из и , то степени определяются по формуле
где есть матрица Якоби о в . Это определение степени может быть естественным образом распространено на нерегулярные значения, такие, что где - точка, близкая к .
Степень удовлетворяет следующим свойствам: [2]
- Если , то существует такое, что .
- для всех .
- Свойство разложения:
- , если являются непересекающимися частями и .
- Гомотопическая инвариантность : если и гомотопически эквивалентны посредством такой гомотопии , что и , то
- Функция локально постоянна на
Эти свойства однозначно характеризуют степень, и степень может быть определена ими аксиоматически.
Аналогичным образом мы могли бы определить степень отображения компактных ориентированных многообразий с краем .
Свойства [ править ]
Степень отображения является гомотопическим инвариантом; более того, для непрерывных отображений из сферы в себя это полный гомотопический инвариант, т. е. два отображения гомотопны тогда и только тогда, когда .
Другими словами, степень - это изоморфизм между и .
Более того, теорема Хопфа утверждает, что для любого -мерного замкнутого ориентированного многообразия M два отображения гомотопны тогда и только тогда, когда
Самостоятельно отображение из п -сферы продолжаемо к карте от п -Ball к п -сфере тогда и только тогда . (Здесь функция F расширяет f в том смысле, что f является ограничением F на .)
Расчет степени [ править ]
Существует алгоритм вычисления топологической степени deg ( f , B , 0) непрерывной функции f из n- мерного бокса B (произведение n интервалов) в , где f задана в виде арифметических выражений. [3] Реализация алгоритма доступна в TopDeg - программном средстве для вычисления степени (LGPL-3).
См. Также [ править ]
- Покрывающее число , термин с таким же названием. Обратите внимание, что он не обобщает номер намотки, а описывает покрытия множества шарами.
- Плотность (многогранник) , многогранный аналог
- Теория топологической степени
Заметки [ править ]
- ^ Брауэр, LEJ (1911). "Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten" . Mathematische Annalen . 71 (1): 97–115. DOI : 10.1007 / bf01456931 . S2CID 177796823 .
- ^ Танцовщица, EN (2000). Вариационное исчисление и дифференциальные уравнения с частными производными . Springer-Verlag. С. 185–225. ISBN 3-540-64803-8.
- ^ Франек, Питер; Ратшан, Стефан (2015). «Вычисление эффективной топологической степени на основе интервальной арифметики». Математика вычислений . 84 (293): 1265–1290. DOI : 10.1090 / S0025-5718-2014-02877-9 . ISSN 0025-5718 . S2CID 17291092 .
Ссылки [ править ]
- Фландерс, Х. (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Дувр.
- Хирш, М. (1976). Дифференциальная топология . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.
- Милнор, Дж. В. (1997). Топология с дифференцируемой точки зрения . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-04833-8.
- Outerelo, E .; Руис, JM (2009). Теория картографической степени . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4915-6.
Внешние ссылки [ править ]
- "Степень Брауэра" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Познакомимся со степенью картографии Раде Т. Зивальевич.