В численном анализе , BDDC (балансирование разложения домена с помощью ограничений) представляет собой метод декомпозиции области для решения больших симметричного , положительно определенных систем линейных уравнений , которые возникают из метода конечных элементов . BDDC используется в качестве прекондиционер к сопряженному градиентному методу. Конкретная версия BDDC характеризуется выбором грубых степеней свободы, которые могут быть значениями в углах подобластей или средними значениями по краям или граням интерфейса между подобластями. Затем одно приложение предобуславливателя BDDC объединяет решение локальных проблем в каждой подобласти с решением глобальной грубой задачи с грубыми степенями свободы в качестве неизвестных. Локальные задачи в разных подобластях полностью независимы друг от друга, поэтому метод подходит для параллельных вычислений . При правильном выборе грубых степеней свободы (углы в 2D, углы плюс ребра или углы плюс грани в 3D) и с регулярными формами подобласти число условияметода ограничен при увеличении количества подобластей, и он растет очень медленно с количеством элементов в подобласти. Таким образом, количество итераций ограничено таким же образом, и метод хорошо масштабируется с размером задачи и количеством подобластей.
История
BDDC был введен разными авторами и разными подходами примерно в одно и то же время, то есть Кросом , [1] Дорманном, [2] и Фрагакисом и Пападракакисом, [3] как основная альтернатива методу декомпозиции домена FETI-DP Фархата. и другие. [4] [5] См. [6] для доказательства того, что на самом деле это тот же метод, что и BDDC. Название метода было придумано Манделем и Дорманном [7], поскольку его можно рассматривать как дальнейшее развитие метода BDD ( балансирующая декомпозиция домена ). [8] Mandel, Dohrmann и Tezaur [9] доказали, что собственные значения BDDC и FETI-DP идентичны, за исключением собственного значения, равного единице, которое может присутствовать в BDDC, но не в FETI-DP, и, следовательно, их количество итераций практически не отличается. Гораздо более простые доказательства этого факта были позже получены Ли и Видлундом [10], а также Бреннером и Сунгом. [11]
Грубое пространство
Грубое пространство из BDDC состоит из энергетических минимальных функций с заданными значениями грубых степеней свободы. Это то же самое грубое пространство, которое используется для углов в версии BDD для пластин и оболочек . [12] Разница в том, что в BDDC грубая задача используется аддитивно, а в BDD - мультипликативно.
Механическое описание
Метод BDDC часто используется для решения задач, связанных с линейной упругостью , и, возможно, лучше всего его можно объяснить с точки зрения деформации упругой конструкции. Задача упругости состоит в том, чтобы определить деформацию конструкции при заданных перемещениях и приложенных к ней силах. После применения метода конечных элементов мы получаем систему линейных алгебраических уравнений, где неизвестными являются перемещения в узлах элементов, а правая часть исходит от сил (и от ненулевых заданных перемещений на границе, но, для простоты предположим, что они равны нулю).
Предварительный кондиционер принимает правую сторону и предлагает приблизительное решение. Итак, предположим, что у нас есть упругая структура, разделенная на неперекрывающиеся подструктуры, и для простоты предположим, что грубые степени свободы - это только углы подобласти. Предположим, что даны силы, приложенные к конструкции.
Первым шагом в методе BDDC является внутренняя коррекция, которая заключается в нахождении деформации каждой подобласти отдельно с учетом сил, приложенных к подобласти, за исключением интерфейса подобласти с ее соседями. Поскольку внутренняя часть каждой подобласти перемещается независимо, а интерфейс остается при нулевой деформации, это вызывает изгибы на границе раздела. Силы на интерфейсе, необходимые для сохранения баланса изгибов, добавляются к силам, уже заданным на интерфейсе. Затем межфазные силы распределяются по подобласти (либо одинаково, либо с весами, пропорциональными жесткости материала подобластей, так что более жесткие подобласти получают больше силы).
Второй шаг, называемый коррекцией подобласти, заключается в нахождении деформации для этих интерфейсных сил в каждой подобласти отдельно при условии нулевых смещений на углах подобласти. Обратите внимание, что значения коррекции субдомена в интерфейсе в целом различаются.
В то же время, что и коррекция подобласти, вычисляется грубая поправка, которая состоит из смещения во всех углах подобласти, интерполированных между углами в каждой подобласти отдельно при условии, что подобласть принимает ту же форму, что и без приложения сил. ему вообще. Затем силы интерфейса, как и для коррекции подобласти, применяются, чтобы найти значения грубой коррекции в углах подобласти. Таким образом, межфазные силы усредняются и по методу Галеркина находится грубое решение . Опять же, значения грубой коррекции на интерфейсах субдоменов, как правило, прерывистые по всему интерфейсу.
Наконец, добавляются поправки на подобласти и грубые поправки, и сумма усредняется по интерфейсам подобластей с теми же весами, которые использовались для распределения сил на подобласть ранее. Это дает значение вывода BDDC на интерфейсах между субдоменами. Значения выхода BDDC внутри подобластей затем получаются путем повторения внутренней коррекции.
В практической реализации правая часть и начальное приближение для итераций предварительно обрабатываются, так что все силы внутри подобластей равны нулю. Это делается одним применением внутренней коррекции, как описано выше. Тогда силы внутри подобластей останутся равными нулю во время итераций сопряженных градиентов, и поэтому первая внутренняя коррекция в каждом приложении BDDC может быть опущена.
Рекомендации
- ^ J.-M. Крос, Предобуславливатель метода декомпозиции области дополнения Шура , в Методы декомпозиции домена в науке и технике, И. Эррера, Д. Е. Киз и О. Б. Видлунд, ред., Национальный автономный университет Мексики (UNAM), Мексика, 2003 г., стр. 373–380. 14-я Международная конференция по методам декомпозиции доменов, Кокойок, Мексика, 6–12 января 2002 г.
- ^ CR Dohrmann, Предварительное кондиционирование для субструктурирования на основе ограниченной минимизации энергии , SIAM J. Sci. Вычисл., 25 (2003), стр. 246–258.
- ^ Y. Fragakis и M. Papadrakakis, Мозаика высокопроизводительных методов декомпозиции области для структурной механики: формулировка, взаимосвязь и численная эффективность первичных и двойственных методов , Comput. Методы Прил. Мех. Engrg., 192 (2003), стр. 3799–3830.
- ^ К. Фархат, М. Лесоин, П. Леталлек, К. Пирсон и Д. Риксен, FETI-DP: метод двойного первичного унифицированного FETI. I. Более быстрая альтернатива двухуровневому методу FETI, Internat. J. Numer. Methods Engrg., 50 (2001), стр. 1523–1544.
- ^ C. Фархат, М. Lesoinne, и К. Пирсон, масштабируемый метод разложения дуальной первичной области , Numer. Linear Algebra Appl., 7 (2000), стр. 687–714. Методы предварительной обработки для больших задач с разреженными матрицами в промышленных приложениях (Миннеаполис, Миннесота, 1999).
- ^ J. Mandel и Б. Sousedík, BDDC и FeTi-DP , при минимальном предположении , Вычислительный, 81 (2007), стр. 269-280.
- ^ Дж. Мандель и CR Dohrmann, Сходимость разложения балансирующей области ограничениями и минимизацией энергии , Numer. Приложение линейной алгебры, 10 (2003), стр. 639–659.
- ^ Дж. Мандель, Разложение балансирующей области , Comm. Нумер. Methods Engrg., 9 (1993), стр. 233–241.
- ^ Дж. Мандель, CR Dohrmann и Р. Тезаур, Алгебраическая теория для прямых и двойственных методов подструктурирования с помощью ограничений , Appl. Нумер. Math., 54 (2005), стр. 167–193.
- ^ J. Li и OB Widlund, FETI-DP, BDDC, и методы блока Холецкого , Internat. J. Numer. Methods Engrg., 66 (2006), стр. 250–271.
- ^ SC Brenner и L.-Y. Sung, BDDC и FETI-DP без матриц или векторов , Comput. Методы Прил. Мех. Engrg., 196 (2007), стр. 1429–1435.
- ^ Ле Таллек, Патрик; Мандель, Ян; Видраску, Марина, Алгоритм декомпозиции области Неймана-Неймана для решения задач о пластинах и оболочках. SIAM J. Numer. Анальный. 35 (1998), нет. 2, 836–867