В численном анализе , то метод декомпозиции области балансировки (BDD) представляет собой итерационный метод , чтобы найти решение в симметричной положительно определенной системе линейных алгебраических уравнений , вытекающих из метода конечных элементов . [1] На каждой итерации он объединяет решение локальных проблем на неперекрывающихся подобластях с грубой задачей, созданной из пустых пространств подобласти . BDD требует только решения проблем подобласти, а не доступа к матрицам этих проблем, поэтому он применим к ситуациям, когда доступны только операторы решения, например, в нефтяном пласте. Моделирование с помощью смешанных конечных элементов . [2] В своей первоначальной формулировке BDD хорошо справляется только с задачами 2-го порядка, такими как эластичность в 2D и 3D. Для задач 4-го порядка, таких как изгиб пластины , ее необходимо изменить, добавив к грубой задаче специальные базовые функции, которые обеспечивают непрерывность решения в углах подобласти [3], что, однако, делает его более дорогостоящим. В методе BDDC используются те же функции углового базиса, что и, [3], но аддитивным, а не мультипликативным образом. [4] Двойным аналогом BDD является FETI , который обеспечивает равенство решения между подобластями по множителям Лагранжа. Базовые версии BDD и FETI не являются математически эквивалентными, хотя специальная версия FETI, разработанная для решения сложных задач [5], имеет те же собственные значения и, следовательно, по существу такую же производительность, что и BDD. [6] [7]
Оператор системы, решаемой BDD, такой же, как полученный путем исключения неизвестных внутри подобласти, тем самым сводя проблему к дополнению Шура на интерфейсе подобласти. Поскольку предобуславливатель BDD включает решение задач Неймана во всех подобластях, он является членом класса методов Неймана – Неймана , названного так потому, что они решают проблему Неймана на обеих сторонах интерфейса между подобластями.
В простейшем случае грубое пространство BDD состоит из функций, постоянных на каждой подобласти и усредненных на интерфейсах. В более общем смысле, на каждом подобласти грубое пространство должно содержать только нулевое пространство проблемы как подпространство.
Рекомендации
- ^ Дж. Мандель, Разложение балансирующей области , Comm. Нумер. Methods Engrg., 9 (1993), стр. 233–241. ‹См. Tfd› doi : 10.1002 / cnm.1640090307
- ^ LC Cowsar, J. Mandel и MF Wheeler, Разложение балансирующей области для смешанных конечных элементов , Math. Comp., 64 (1995), стр. 989–1015. ‹См. Tfd› doi : 10.1090 / S0025-5718-1995-1297465-9
- ^ a b П. Ле Таллек, Дж. Мандель и М. Видраску, Алгоритм декомпозиции области Неймана – Неймана для решения задач о пластинах и оболочках , SIAM Journal on Numerical Analysis, 35 (1998), стр. 836–867. ‹См. Tfd› doi : 10.1137 / S0036142995291019
- ^ Дж. Мандель и CR Dohrmann, Сходимость разложения балансирующей области ограничениями и минимизацией энергии , Numer. Приложение линейной алгебры, 10 (2003), стр. 639–659. ‹См. Tfd› doi : 10.1002 / nla.341
- ^ М. Бхардвадж, Д. Дэй, К. Фархат, М. Лесоинн, К. Пирсон и Д. Риксен, Применение метода FETI к проблемам ASCI - результаты масштабируемости на 1000 процессоров и обсуждение весьма неоднородных проблем , Международный журнал для Численные методы в инженерии, 47 (2000), стр. 513–535. ‹См. Tfd› doi : 10.1002 / (SICI) 1097-0207 (20000110/30) 47: 1/3 <513 :: AID-NME782> 3.0.CO; 2-V
- ^ Y. Fragakis, Двойственность силы и смещения в методах разложения доменов для твердого тела и структурной механики . Появиться в Comput. Методы Прил. Мех. Engrg., 2007.
- ^ Б. Суседик и Дж. Мандель, Об эквивалентности первичных и двойственных предобуславливателей подструктурирования . arXiv: math / 0802.4328, 2008.