Гибка плит

Гибка круглой пластины с зажимом кромок под действием поперечного давления. Левая половина пластины показывает деформированную форму, а правая половина - недеформированную. Этот расчет был выполнен с использованием Ansys .

Изгиб пластин или изгиб пластины , относится к отклонению части в пластине , перпендикулярные к плоскости пластины под действием внешних сил и моментов . Величину отклонения можно определить, решив дифференциальные уравнения соответствующей теории пластин . По этим прогибам можно рассчитать напряжения в пластине. Как только напряжения известны, можно использовать теории разрушения, чтобы определить, выйдет ли из строя плита под заданной нагрузкой.

Изгибание пластин Кирхгофа-Лява [ править ]

Силы и моменты на плоской пластине.

Определения [ править ]

Для тонкой прямоугольной пластины толщиной , модуль Юнга и коэффициент Пуассона , мы можем определить параметры в терминах прогиба пластины, .${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle w}$

Жесткость при изгибе определяется

${\ displaystyle D = {\ frac {EH ^ {3}} {12 \ left (1- \ nu ^ {2} \ right)}}}$

Моменты [ править ]

В изгибающие моменты на единицу длины даются

${\ Displaystyle M_ {x} = - D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right)}$

${\ displaystyle M_ {y} = - D \ left (\ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right)}$

Крутящий момент на единицу длины дается

${\displaystyle M_{xy}=-D\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

Силы [ править ]

В поперечные силы на единицу длины задаются

${\displaystyle Q_{x}=-D{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle Q_{y}=-D{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

Подчеркивает [ править ]

Напряжения изгиба определяются выражением

${\displaystyle \sigma _{x}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{y}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

Напряжение сдвига задается

${\displaystyle \tau _{xy}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

Штаммы [ править ]

В изгибающих деформациях для теории малых отклонений определяются

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}}$

Деформации сдвига для теории малого отклонения задаются

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=-2z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

Для теории больших отклоняющих пластин мы рассматриваем учет деформаций мембран

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial w}{\partial y}}}$

Отклонения [ править ]

Эти прогибы определяются

${\displaystyle u=-z{\frac {\partial w}{\partial x}}}$

${\displaystyle v=-z{\frac {\partial w}{\partial y}}}$

Вывод [ править ]

В теории пластин Кирхгофа – Лява для пластин определяющими уравнениями являются ^[1]

${\displaystyle N_{\alpha \beta ,\alpha }=0}$

а также

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0}$

В развернутом виде

${\displaystyle {\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0}$

а также

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=q}$

где - приложенная поперечная нагрузка на единицу площади, толщина листа , напряжения и${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle H=2h}$${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~.}$

Величина указана в единицах силы на единицу длины. Величина выражается в единицах момента на единицу длины.${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

Для изотропной , однородные , пластины с модулем Юнга и коэффициента Пуассона эти уравнения сводятся к ^[2]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}={\cfrac {H^{3}E}{12(1-\nu ^{2})}}}$

где - прогиб средней поверхности пластины.${\displaystyle w(x_{1},x_{2})}$

Небольшой прогиб тонких прямоугольных пластин [ править ]

Это регулируется Жермен - Лагранжа пластины уравнения

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}}$

Это уравнение было впервые выведено Лагранжем в декабре 1811 года при исправлении работы Жермена, который лег в основу теории.

Большой прогиб тонких прямоугольных пластин [ править ]

Это регулируется уравнениями пластины Феппля - фон Кармана.

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial y^{4}}}=E\left[\left({\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}+{\cfrac {H}{D}}\left({\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)}$

где - функция напряжения.${\displaystyle F}$

Круглые тарелки Кирхгофа-Лява [ править ]

Изгиб круглых пластин можно исследовать, решив основное уравнение с соответствующими граничными условиями. Эти решения были впервые найдены Пуассоном в 1829 году. Для таких задач удобны цилиндрические координаты. Вот расстояние точки от средней плоскости пластины.${\displaystyle z}$

Основное уравнение в безкоординатной форме имеет вид

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}$

В цилиндрических координатах , ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.}$

Для симметрично нагруженных круглых пластин`` и имеем${\displaystyle w=w(r)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\,.}$

Следовательно, основное уравнение

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

Если и постоянны, прямое интегрирование основного уравнения дает нам${\displaystyle q}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle w(r)=-{\frac {qr^{4}}{64D}}+C_{1}\ln r+{\cfrac {C_{2}r^{2}}{2}}+{\cfrac {C_{3}r^{2}}{4}}(2\ln r-1)+C_{4}}$

где - константы. Наклон отклоняющей поверхности составляет${\displaystyle C_{i}}$

${\displaystyle \phi (r)={\cfrac {dw}{dr}}=-{\frac {qr^{3}}{16D}}+{\frac {C_{1}}{r}}+C_{2}r+C_{3}r\ln r\,.}$

Для круглой пластины это подразумевает требование конечности прогиба и крутизны прогиба . Однако значение 0 не обязательно, так как предел существует при приближении справа.${\displaystyle r=0}$${\displaystyle C_{1}=0}$${\displaystyle C_{3}}$${\displaystyle r\ln r\,}$${\displaystyle r=0}$

Закрепленные края [ править ]

Для круглой пластины с зажатыми краями у нас есть и на краю пластины (радиус ). Используя эти граничные условия, получаем${\displaystyle w(a)=0}$${\displaystyle \phi (a)=0}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle w(r)=-{\frac {q}{64D}}(a^{2}-r^{2})^{2}\quad {\text{and}}\quad \phi (r)={\frac {qr}{16D}}(a^{2}-r^{2})\,.}$

Смещения в плоскости пластины равны

${\displaystyle u_{r}(r)=-z\phi (r)\quad {\text{and}}\quad u_{\theta }(r)=0\,.}$

Деформации в плоскости пластины равны

${\displaystyle \varepsilon _{rr}={\cfrac {du_{r}}{dr}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-3r^{2})~,~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {u_{r}}{r}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-r^{2})~,~~\varepsilon _{r\theta }=0\,.}$

Напряжения в плоскости пластины равны

${\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{rr}+\nu \varepsilon _{\theta \theta }\right]~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{\theta \theta }+\nu \varepsilon _{rr}\right]~;~~\sigma _{r\theta }=0\,.}$

Для толстого листа жесткость на изгиб равна, и мы имеем${\displaystyle 2h}$${\displaystyle D=2Eh^{3}/[3(1-\nu ^{2})]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{\theta \theta }&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{r\theta }&=0\,.\end{aligned}}}$

Результирующие момента (изгибающие моменты) равны

${\displaystyle M_{rr}=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]~;~~M_{\theta \theta }=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]~;~~M_{r\theta }=0\,.}$

Максимальное радиальное напряжение составляет и :${\displaystyle z=h}$${\displaystyle r=a}$

${\displaystyle \left.\sigma _{rr}\right|_{z=h,r=a}={\frac {3qa^{2}}{16h^{2}}}={\frac {3qa^{2}}{4H^{2}}}}$

где . Изгибающие моменты на границе и в центре пластины равны${\displaystyle H:=2h}$

${\displaystyle \left.M_{rr}\right|_{r=a}={\frac {qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=a}={\frac {\nu qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{rr}\right|_{r=0}=\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=0}=-{\frac {(1+\nu )qa^{2}}{16}}\,.}$

Прямоугольные пластины Кирхгофа-Лява [ править ]

Изгиб прямоугольной пластины под действием распределенной силы на единицу площади.${\displaystyle q}$

Для прямоугольных пластин Навье в 1820 году ввел простой метод определения смещения и напряжения, когда пластина просто поддерживается. Идея заключалась в том, чтобы выразить приложенную нагрузку в терминах компонентов Фурье, найти решение для синусоидальной нагрузки (одиночный компонент Фурье), а затем наложить компоненты Фурье, чтобы получить решение для произвольной нагрузки.

Синусоидальная нагрузка [ править ]

Предположим, что нагрузка имеет вид

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}$

Здесь амплитуда, это ширина пластины в -направлении, и это ширина пластины в -направлении.${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle y}$

Поскольку пластина просто поддерживается, смещение по краям пластины равно нулю, изгибающий момент равен нулю при и , и равен нулю при и .${\displaystyle w(x,y)}$${\displaystyle M_{xx}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle M_{yy}}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=b}$

Если мы применим эти граничные условия и решим уравнение пластины, мы получим решение

${\displaystyle w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}$

Где D - жесткость при изгибе

${\displaystyle D={\frac {Et^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}$

Аналогично жесткости на изгиб EI. ^[3] Мы можем рассчитать напряжения и деформации в пластине, если нам известно смещение.

Для более общей загрузки формы

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

где и - целые числа, получаем решение${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,.}$

Решение Navier [ править ]

Уравнение двойного тригонометрического ряда [ править ]

Определим общую нагрузку следующего вида${\displaystyle q(x,y)}$

${\displaystyle q(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

где - коэффициент Фурье, определяемый формулой${\displaystyle a_{mn}}$

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}q(x,y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}$.

Таким образом, классическое уравнение прямоугольной пластины для малых прогибов принимает следующий вид:

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {1}{D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Пластина с простой опорой и общей нагрузкой [ править ]

Мы предполагаем решение следующего вида${\displaystyle w(x,y)}$

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Частные дифференциалы этой функции даются выражениями

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Подставляя эти выражения в уравнение пластины, имеем

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\cfrac {a_{mn}}{D}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Приравнивая два выражения, имеем

${\displaystyle \left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}={\cfrac {a_{mn}}{D}}}$

который можно переставить, чтобы получить

${\displaystyle w_{mn}={\frac {1}{\pi ^{4}D}}{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}}$

Прогиб свободно опертой пластины (углового происхождения) при общей нагрузке определяется выражением

${\displaystyle w(x,y)={\frac {1}{\pi ^{4}D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Пластина с простой опорой и равномерно распределенной нагрузкой [ править ]

Стресс ( )${\displaystyle \sigma _{xx}}$

Стресс ( )${\displaystyle \sigma _{yy}}$

Смещения и напряжения по прямоугольной пластине с мм, мм, мм, ГПа и под нагрузкой кПа. Красная линия представляет нижнюю часть тарелки, зеленая линия - середину, а синяя линия - верх тарелки.${\displaystyle x=a/2}$${\displaystyle a=20}$${\displaystyle b=40}$${\displaystyle H=2h=0.4}$${\displaystyle E=70}$${\displaystyle \nu =0.35}$${\displaystyle q_{0}=-10}$

Для равномерно распределенной нагрузки имеем

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}}$

Соответствующий коэффициент Фурье, таким образом, определяется выражением

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}$.

Вычисляя двойной интеграл, имеем

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4q_{0}}{\pi ^{2}mn}}(1-\cos m\pi )(1-\cos n\pi )}$,

или, альтернативно, в кусочном формате, мы имеем

${\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\cfrac {16q_{0}}{\pi ^{2}mn}}&m~{\text{and}}~n~{\text{odd}}\\0&m~{\text{or}}~n~{\text{even}}\end{cases}}}$

Прогиб свободно опертой пластины (углового происхождения) при равномерно распределенной нагрузке определяется выражением

${\displaystyle w(x,y)={\frac {16q_{0}}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {1}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражением

${\displaystyle M_{x}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+\nu {\frac {n^{2}}{b^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle M_{y}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {n^{2}}{b^{2}}}+\nu {\frac {m^{2}}{a^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Решение Леви [ править ]

Другой подход был предложен Леви ^[4] в 1899 году. В этом случае мы начинаем с предполагаемой формы смещения и пытаемся подогнать параметры так, чтобы выполнялись основное уравнение и граничные условия. Цель состоит в том, чтобы найти такие , что она удовлетворяет граничные условия на и и, конечно же , основное уравнение .${\displaystyle Y_{m}(y)}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=b}$${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q/D}$

Предположим, что

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }Y_{m}(y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}$

Для пластины, которая свободно опирается вдоль и , граничными условиями являются и . Обратите внимание, что нет никакого изменения смещения вдоль этих краев, что означает и , таким образом, сводя граничное условие момента к эквивалентному выражению .${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle w=0}$${\displaystyle M_{xx}=0}$${\displaystyle \partial w/\partial y=0}$${\displaystyle \partial ^{2}w/\partial y^{2}=0}$${\displaystyle \partial ^{2}w/\partial x^{2}=0}$

Моменты по краям [ править ]

Рассмотрим случай чисто моментной нагрузки. В таком случае и должно удовлетворять . Поскольку мы работаем в прямоугольных декартовых координатах, основное уравнение можно разложить как${\displaystyle q=0}$${\displaystyle w(x,y)}$${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=0\,.}$

Подставив выражение для в основное уравнение, мы получим${\displaystyle w(x,y)}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left[\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}Y_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}-2\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\right]=0}$

или же

${\displaystyle {\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}-2{\frac {m^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}+{\frac {m^{4}\pi ^{4}}{a^{4}}}Y_{m}=0\,.}$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее общее решение

${\displaystyle Y_{m}=A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+C_{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}}$

где - константы, которые можно определить из граничных условий. Следовательно, вытеснительное решение имеет вид${\displaystyle A_{m},B_{m},C_{m},D_{m}}$

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\left[\left(A_{m}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(C_{m}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right]\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}$

Выберем систему координат так, чтобы границы пластины были в и (как и раньше) и в (а не и ). Тогда моментные граничные условия на границах равны${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle y=\pm b/2}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=b}$${\displaystyle y=\pm b/2}$

${\displaystyle w=0\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=b/2}=f_{1}(x)\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=-b/2}=f_{2}(x)}$

где - известные функции. Решение можно найти, применив эти граничные условия. Мы можем показать, что для симметричного случая, когда ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)}$

${\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}$

а также

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)=\sum _{m=1}^{\infty }E_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

у нас есть

${\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\cosh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right)}$

где

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\,.}$

Аналогично для антисимметричного случая, когда

${\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=-M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}$

у нас есть

${\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\sinh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\coth \alpha _{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}\right)\,.}$

Мы можем совмещать симметричные и антисимметричные решения, чтобы получить более общие решения.

Пластина с простой опорой и равномерно распределенной нагрузкой [ править ]

Для равномерно распределенной нагрузки имеем

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}}$

Прогиб свободно опертой пластины с центром при равномерно распределенной нагрузке определяется выражением${\displaystyle \left({\frac {a}{2}},0\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {q_{0}a^{4}}{D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\left(A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\\\\&{\begin{aligned}{\text{where}}\quad &A_{m}=-{\frac {2\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}+2\right)}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&B_{m}={\frac {2}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&G_{m}={\frac {4}{\pi ^{5}m^{5}}}\\\\{\text{and}}\quad &\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\end{aligned}}\end{aligned}}}$

Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражением

${\displaystyle M_{x}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(\nu -1\right)A_{m}+2\nu B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(\nu -1\right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

${\displaystyle M_{y}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(1-\nu \right)A_{m}+2B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(1-\nu \right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-\nu G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

Равномерная и симметричная моментная нагрузка [ править ]

Для частного случая, когда нагрузка симметрична и момент однороден, мы имеем при ,${\displaystyle y=\pm b/2}$

${\displaystyle M_{yy}=f_{1}(x)={\frac {4M_{0}}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{2m-1}}\,\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,.}$

Смещение ( )${\displaystyle w}$

Напряжение изгиба ( )${\displaystyle \sigma _{yy}}$

Поперечное напряжение сдвига ( )${\displaystyle \sigma _{yz}}$

Смещения и напряжения для прямоугольной пластины при равномерном изгибающем моменте по краям и . Напряжение изгиба находится по нижней поверхности пластины. Поперечное напряжение сдвига проходит по средней поверхности пластины.${\displaystyle y=-b/2}$${\displaystyle y=b/2}$${\displaystyle \sigma _{yy}}$${\displaystyle \sigma _{yz}}$

Результирующее смещение

${\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {2M_{0}a^{2}}{\pi ^{3}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)^{3}\cosh \alpha _{m}}}\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\times \\&~~\left[\alpha _{m}\,\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {\pi (2m-1)b}{2a}}\,.}$

Изгибающие моменты и поперечные силы, соответствующие смещению, равны${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&={\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\left\{{\frac {2\nu }{1-\nu }}+\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\right\}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&=-{\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.(1-\alpha _{m}\tanh \alpha _{m})\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {4M_{0}}{a}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\,.\end{aligned}}}$