- В данной статье рассматривается компонент численных методов. Для грубого пространства в топологии см. Грубую структуру .
В численном анализе , грубая проблема является вспомогательной системой уравнений , используемых в качестве итерационного метода для решения данной более крупной системы уравнений. Грубая задача - это, по сути, версия той же проблемы с более низким разрешением, сохраняющая свои основные характеристики, но с меньшим количеством переменных. Цель грубой задачи - распространить информацию по всей проблеме в глобальном масштабе.
В многосеточных методах для уравнений в частных производных грубая задача обычно получается как дискретизация того же уравнения на более грубой сетке (обычно в методах конечных разностей ) или с помощью приближения Галеркина на подпространстве , называемом грубым пространством . В методах конечных элементов обычно используется приближение Галеркина, при котором грубое пространство генерируется более крупными элементами в той же области . Обычно грубая задача соответствует сетке, которая в два-три раза крупнее.
Грубые пространства (грубая модель, суррогатная модель ) являются основой алгоритмов и методологий, использующих концепцию картографирования пространства для решения ресурсоемких инженерных задач моделирования и проектирования. [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] При картировании пространства модель с высокой или высокой точностью (высокое разрешение, требующие больших вычислительных ресурсов) используется для калибровки или повторной калибровки - или обновления. «на лету», как в агрессивном картографировании пространства - подходящая грубая модель. Обновленную грубую модель часто называют суррогатной моделью или сопоставленной грубой моделью. Это позволяет быстро, но более точно использовать базовую грубую модель при исследовании проектов или при оптимизации конструкции.
В методах декомпозиции области построение грубой задачи следует тем же принципам, что и в многосеточных методах, но более грубая задача имеет гораздо меньше неизвестных, обычно только одно или несколько неизвестных на подобласть или субструктуру, а грубое пространство может иметь совершенно другой тип, чем исходное пространство конечных элементов, например кусочные константы с усреднением в балансирующей декомпозиции области или построенные из минимальных по энергии функций в BDDC . Однако конструкция грубой задачи в FETI необычна тем, что не получается как галеркинское приближение исходной задачи.
В алгебраических многосеточных методах и методах итерационного агрегирования в математической экономике и цепях Маркова грубая задача обычно получается с помощью приближения Галеркина на подпространстве. В математической экономике грубая задача может быть получена путем объединения продуктов или отраслей в грубое описание с меньшим количеством переменных. В цепях Маркова грубая цепь Маркова может быть получена путем агрегирования состояний.
Скорость сходимости многосеточных методов и методов декомпозиции областей для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных без грубой задачи ухудшается с уменьшением шага сетки (или уменьшением размера элемента, или увеличением числа подобластей или подструктур), что делает грубую задачу необходимой для масштабируемого алгоритма.
Рекомендации
- ↑ JW Bandler, RM Biernacki, SH Chen, PA Grobelny и RH Hemmers, "Техника картографирования пространства для электромагнитной оптимизации", IEEE Trans. Теория СВЧ, т. 42, нет. 12, pp. 2536-2544, декабрь 1994 г.
- ^ JW Бэндлер, Р. М. Biernacki, SH Chen, RH Hemmers, К. Мадсен, «Электромагнитная оптимизация использования агрессивного отображения пространства,» IEEE Trans. Теория СВЧ, т. 43, нет. 12, pp. 2874-2882, декабрь 1995 г.
- ^ AJ Букер, JE Деннис, младший, PD Франк, DB Serafini, V. Torczon и MW Trosset, «Строгая структура для оптимизации дорогостоящих функций с помощью суррогатов», Structural Optimization, vol. 17, нет. 1, стр. 1-13, февраль 1999 г.
- ^ JW Bandler, Q. Cheng, SA Dakroury, AS Mohamed, MH Bakr, K. Madsen и J. Søndergaard, "Космическое картирование: современное состояние", IEEE Trans. Теория СВЧ, т. 52, нет. 1, стр. 337-361, январь 2004 г.
- ^ Т.Д. Робинсон, М.С. Элдред, К.Э. Уиллкокс и Р. Хеймс, «Оптимизация на основе суррогатов с использованием моделей множественности с переменной параметризацией и скорректированным отображением пространства», AIAA Journal, vol. 46, нет. 11 ноября 2008 г.
- ^ М. Редхе и Л. Нильссон, «Оптимизация нового Saab 9-3, подверженного ударной нагрузке, с использованием техники космического картографирования», Структурная и междисциплинарная оптимизация, т. 27, нет. 5, стр. 411-420, июль 2004 г.
- ^ JE Rayas-Sanchez, "Сила в простоте с ASM: отслеживание агрессивного алгоритма космического картирования на протяжении двух десятилетий разработки и инженерных приложений" , IEEE Microwave Magazine, vol. 17, нет. 4, стр. 64-76, апрель 2016 г.
- ^ JW Bandler и S. Koziel "Достижения в области оптимизации конструкции на основе электромагнетизма" , IEEE MTT-S Int. Микроволновая печь. Дайджест (Сан-Франциско, Калифорния, 2016).
- Ян Мандель и Бедрих Суседик, Грубое пространство на протяжении веков , Девятнадцатая международная конференция по декомпозиции доменов, Springer-Verlag, отправлено, 2009. arXiv: 0911.5725
- Олоф Б. Видлунд , Разработка грубых пространств для алгоритмов декомпозиции доменов , в: Методы декомпозиции доменов в науке и технике XVIII, Берковье, М., Гандер, М.Дж., Корнхубер, Р. и Видлунд, О. (ред.), Лекция Notes in Computational Science and Engineering 70, Springer-Verlag, 2009, Proceedings of 18th International Conference on Domain Decomposition, Иерусалим, Израиль, январь 2008 г. статья [ постоянная мертвая ссылка ]
Смотрите также
- Мультимасштабное моделирование