Методы декомпозиции домена

Методы декомпозиции домена

В математике , численного анализа и численных уравнений с частными производными , методы декомпозиции области решения краевой задачи путем разделения его на более мелкие краевых задач на подобластей и итерация координировать решение между соседними субдоменов. Проблема грубой с одним или несколькими неизвестными в подобласть используется для дальнейшей координации решения между поддоменами во всем мире. Задачи на подобластях независимы, что делает методы декомпозиции домена подходящими для параллельных вычислений . Методы доменной декомпозиции обычно используются в качестве предобуславливателей для пространства Крылова. итерационные методы , такие как метод сопряженных градиентов , GMRES и LOBPCG .

В методах декомпозиции перекрывающихся доменов субдомены перекрываются не только по интерфейсу. Методы декомпозиции перекрывающихся областей включают альтернативный метод Шварца и аддитивный метод Шварца . Многие методы декомпозиции области могут быть записаны и проанализированы как частный случай абстрактного аддитивного метода Шварца .

В неперекрывающихся методах поддомены пересекаются только на своем интерфейсе. В основных методах, таких как балансирующая декомпозиция домена и BDDC , непрерывность решения через интерфейс субдоменов обеспечивается путем представления значения решения на всех соседних субдоменах одним и тем же неизвестным. В двойных методах, таких как FETI , непрерывность решения через интерфейс субдомена обеспечивается множителями Лагранжа . Метод FETI-DP представляет собой гибрид двойного и основного метода.

Методы декомпозиции неперекрывающихся областей также называются итеративными методами субструктурирования .

Методы минометов - это методы дискретизации для уравнений с частными производными, которые используют раздельную дискретизацию на неперекрывающихся подобластях. Сетки на подобластях не совпадают на интерфейсе, и равенство решения обеспечивается множителями Лагранжа, разумно выбранными для сохранения точности решения. В инженерной практике в методе конечных элементов непрерывность решений между несовпадающими подобластями реализуется посредством многоточечных ограничений .

Конечно-элементное моделирование моделей среднего размера требует решения линейных систем с миллионами неизвестных. Несколько часов на временной шаг - это среднее время последовательного выполнения, поэтому параллельные вычисления необходимы. Методы декомпозиции областей обладают большим потенциалом для распараллеливания методов конечных элементов и служат основой для распределенных параллельных вычислений.

Пример 1: 1D линейный BVP [ править ]

${\ displaystyle u '' (x) -u (x) = 0}$
${\ Displaystyle и (0) = 0, и (1) = 1}$
Точное решение: разделите домен на два поддомена, один из и другой из . В левой подобласти определите интерполирующую функцию, а в правой - определите . На границе между этими двумя подобластями должны быть наложены следующие условия интерфейса: Пусть интерполирующие функции определены как: Где - n-я кардинальная функция многочленов Чебышева первого рода с входным аргументом y. Если N = 4, то по этой схеме получается следующее приближение: Это было получено с помощью следующего кода MATLAB.
${\ Displaystyle и (х) = {\ гидроразрыва {е ^ {х} -e ^ {- х}} {е ^ {1} -e ^ {- 1}}}}$
${\ displaystyle \ left [0, {\ frac {1} {2}} \ right]}$${\ displaystyle \ left [{\ frac {1} {2}}, 1 \ right]}$${\ Displaystyle v_ {1} (х)}$${\displaystyle v_{2}(x)}$
${\displaystyle v_{1}\left({\frac {1}{2}}\right)=v_{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}$
${\displaystyle v_{1}'\left({\frac {1}{2}}\right)=v_{2}'\left({\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle v_{1}(x)=\sum _{n=0}^{N}u_{n}T_{n}(y_{1}(x))}$
${\displaystyle v_{2}(x)=\sum _{n=0}^{N}u_{n+N}T_{n}(y_{2}(x))}$
${\displaystyle y_{1}(x)=4x-1}$
${\displaystyle y_{2}(x)=4x-3}$
${\displaystyle T_{n}(y)}$

${\displaystyle u_{1}=0.06236}$
${\displaystyle u_{2}=0.21495}$
${\displaystyle u_{3}=0.37428}$
${\displaystyle u_{4}=0.44341}$
${\displaystyle u_{5}=0.51492}$
${\displaystyle u_{6}=0.69972}$
${\displaystyle u_{7}=0.90645}$

очистить  все N  =  4 ; а1  =  0 ;  b1  =  1 / 2 ; [ T  D1  D2  E1  E2  x  xsub ]  =  cheb ( N , a1 , b1 );  % матрицы различий на [0,1 / 2] те же %, что и на [1/2 1]. I  =  глаз ( N + 1 ); H  =  D2 - I ; H1  =  [[ 1  ноль ( 1 , N )];  H ( 2 : конец - 1 , :);  [ нули( 1 , N )  1 ]]; H1  =  [ H1  [ нули ( N , N + 1 );  - [ 1  нули ( 1 , N )]]]; H2  =  [ D1 ( 1 , :);  H ( 2 : конец - 1 , :);  [ нули ( 1 , N )  1 ]]; H2  =  [[ - D1( N + 1 , :);  нули ( N , N + 1 )]  H2 ]; К  =  [ H1 ;  H2 ]; F  =  [ нули ( 2 * N + 1 , 1 );  1 ]; и  =  К \ F ; хх  =  - соз ( пи * ( 0 : N ) '/ N ); x1 =  1 / 4 * ( хх + 1 );  x2  =  1 / 4 * ( хх + 3 ); х  =  [ х1 ;  x2 ]; uex  =  ( ехр ( х ) - ехр ( - х )) ./ ( ехр ( 1 ) - ехр ( - 1 ));

См. Также [ править ]

• Многосеточный метод

Внешние ссылки [ править ]

• Официальная страница методов декомпозиции домена
• Декомпозиция доменов - страница численного моделирования