Разрывный метод Галеркина

В прикладной математике разрывные методы Галеркина (методы ДГ) образуют класс численных методов решения дифференциальных уравнений . Они сочетают в себе особенности конечных элементов и каркаса конечных объемов и успешно применяются для решения задач гиперболической , эллиптической , параболической и смешанной формы, возникающих в широком диапазоне приложений. Методы DG, в частности, вызывают значительный интерес для задач с доминирующей частью первого порядка, например, в электродинамике , механике жидкости и физике плазмы .

Разрывные методы Галеркина были впервые предложены и проанализированы в начале 1970-х годов как метод численного решения уравнений в частных производных. В 1973 году Рид и Хилл представили метод DG для решения гиперболического уравнения переноса нейтронов.

Происхождение метода DG для эллиптических задач не может быть прослежено до одной публикации, поскольку такие функции, как штраф за прыжок в современном понимании, развивались постепенно. Однако среди первых влиятельных авторов были Бабушка , Я.-Л. Львы , Иоахим Ниче и Милош Зламал. Методы DG для эллиптических задач уже были разработаны в статье Гарта Бейкера для уравнений 4-го порядка в 1977 году. Более полный отчет об историческом развитии и введение в методы DG для эллиптических задач даны в публикации Arnold, Brezzi , Кокберн и Марини. Ряд исследовательских направлений и проблем, связанных с методами DG, собраны в сборнике трудов под редакцией Кокберна, Карниадакиса и Шу.

Обзор [ править ]

Подобно непрерывному методу Галеркина (CG) , разрывный метод Galerkin (DG) представляет собой метод конечных элементов, сформулированный относительно слабой формулировки конкретной модельной системы. В отличие от традиционных методов компьютерной графики, которые согласовываются , метод DG работает с пробным пространством функций, которые являются только кусочно-непрерывными и, таким образом, часто содержат более инклюзивные функциональные пространства, чем подпространства конечномерного внутреннего произведения, используемые в согласованных методах.

В качестве примера рассмотрим уравнение неразрывности для скаляра, неизвестного в пространственной области без «источников» или «стоков»:${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ набла \ cdot \ mathbf {J} = 0,}$

где поток .${\ displaystyle \ mathbf {J}}$${\ displaystyle \ rho}$

Теперь рассмотрим конечномерное пространство разрывных кусочно-полиномиальных функций над пространственной областью, ограниченное дискретной триангуляцией , записанное как${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {h}}$

${\ displaystyle S_ {h} ^ {p} (\ Omega _ {h}) = \ {v_ {| \ Omega _ {e_ {i}}} \ in P ^ {p} (\ Omega _ {e_ {i }}), \ \ \ forall \ Omega _ {e_ {i}} \ in \ Omega _ {h} \}}$

для пространства многочленов со степенями, меньшими или равными над элементом, индексированным на . Тогда для функций формы конечных элементов решение представлено как${\ displaystyle P ^ {p} (\ Omega _ {e_ {i}})}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Omega _ {е_ {я}}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle N_ {j} \ in P ^ {p}}$

${\ displaystyle \ rho _ {h} ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {\ text {dofs}} \ rho _ {j} ^ {i} (t) N_ {j} ^ {i } ({\ boldsymbol {x}}), \ quad \ forall {\ boldsymbol {x}} \ in \ Omega _ {e_ {i}}.}.$

Затем аналогично выбирая тестовую функцию

${\ displaystyle \ varphi _ {h} ^ {i} ({\ boldsymbol {x}}) = \ sum _ {j = 1} ^ {\ text {dofs}} \ varphi _ {j} ^ {i} N_ {j} ^ {i} ({\ boldsymbol {x}}), \ quad \ forall {\ boldsymbol {x}} \ in \ Omega _ {e_ {i}},}$

Умножая уравнение неразрывности на и интегрируя по частям в пространстве , полудискретная формулировка ДГ принимает следующий вид:${\displaystyle \varphi _{h}^{i}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{e_{i}}}\rho _{h}^{i}\varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}+\int _{\partial \Omega _{e_{i}}}\varphi _{h}^{i}\mathbf {J} _{h}\cdot {\boldsymbol {n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{\Omega _{e_{i}}}\mathbf {J} _{h}\cdot \nabla \varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}.}$

Скалярный гиперболический закон сохранения [ править ]

Скалярный гиперболический закон сохранения имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\quad {\text{for}}\quad t>0,\,x\in \mathbb {R} \\u(0,x)&=u_{0}(x)\,,\end{aligned}}}$

где кто-то пытается найти неизвестную скалярную функцию , и функции обычно задаются.${\displaystyle u\equiv u(t,x)}$${\displaystyle f,u_{0}}$

Дискретизация пространства [ править ]

-Пространство будет дискрети- , как${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{k}I_{k}\,,\quad I_{k}:=\left(x_{k},x_{k+1}\right)\quad {\text{for}}\quad x_{k}<x_{k+1}\,.}$

Кроме того, нам потребуются следующие определения

${\displaystyle h_{k}:=|I_{k}|\,,\quad h:=\sup _{k}h_{k}\,,\quad {\hat {x}}_{k}:=x_{k}+{\frac {h_{k}}{2}}\,.}$

Основа для функционального пространства [ править ]

Мы выводим базисное представление для функционального пространства нашего решения . Функциональное пространство определяется как${\displaystyle u}$

${\displaystyle S_{h}^{p}:=\left\lbrace v\in L^{2}(\mathbb {R} ):v{\Big |}_{I_{k}}\in \Pi _{p}\right\rbrace \quad {\text{for}}\quad p\in \mathbb {N} _{0}\,,}$

где обозначает ограничение на на интервал , и обозначает пространство многочленов максимальной степени . Индекс должен показывать отношение к базовой дискретизации, заданной как . Обратите внимание, что это не определено однозначно в точках пересечения .${\displaystyle {v|}_{I_{k}}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle \Pi _{p}}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \left(x_{k}\right)_{k}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle (x_{k})_{k}}$

Сначала мы используем конкретный полиномиальный базис на интервале , полиномы Лежандра , т. Е.${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle (P_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$

${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x\,,\quad P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)\,,\quad \dots }$

Обратите особое внимание на отношения ортогональности

${\displaystyle \left\langle P_{i},P_{j}\right\rangle _{L^{2}([-1,1])}={\frac {2}{2i+1}}\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.}$

Преобразование на интервал и нормализация достигается функциями${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (\varphi _{i})_{i}}$

${\displaystyle \varphi _{i}(x):={\sqrt {2i+1}}P_{i}(2x-1)\quad {\text{for}}\quad x\in [0,1]\,,}$

которые удовлетворяют соотношению ортонормированности

${\displaystyle \left\langle \varphi _{i},\varphi _{j}\right\rangle _{L^{2}([0,1])}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.}$

Преобразование на интервал дается выражением${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle \left({\bar {\varphi }}_{ki}\right)_{i}}$

${\displaystyle {\bar {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}\varphi _{i}\left({\frac {x-x_{k}}{h_{k}}}\right)\quad {\text{for}}\quad x\in I_{k}\,,}$

которые выполняют

${\displaystyle \left\langle {\bar {\varphi }}_{ki},{\bar {\varphi }}_{kj}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\forall \,k\,.}$

Для -нормализации мы определяем , а для -нормализации мы определяем st${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle \varphi _{ki}:={\sqrt {h_{k}}}{\bar {\varphi }}_{ki}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}{\bar {\varphi }}_{ki}}$

${\displaystyle \|\varphi _{ki}\|_{L^{\infty }(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{\infty }([0,1])}=:c_{i,\infty }\quad {\text{and}}\quad \|{\tilde {\varphi }}_{ki}\|_{L^{1}(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{1}([0,1])}=:c_{i,1}\,.}$

Наконец, мы можем определить базовое представление наших решений ${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{h}(t,x):=&\sum _{i=0}^{p}u_{ki}(t)\varphi _{ki}(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (x_{k},x_{k+1})\\u_{ki}(t)=&\left\langle u_{h}(t,\cdot ),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}\,.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что это не определено в позициях интерфейса.${\displaystyle u_{h}}$

Кроме того, основания призм используются для плоских структур и способны к двухмерной / трехмерной гибридизации.

DG-схема [ править ]

Закон сохранения преобразуется в слабую форму путем умножения на тестовые функции и интегрирования по тестовым интервалам.

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\\\Rightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),v\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,v\in S_{h}^{p}\\\Leftrightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}}$

Используя частичную интеграцию, остается

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+f(u(t,x_{k+1})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-f(u(t,x_{k})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}}$

Потоки на границах раздела аппроксимированы числовыми потоками с${\displaystyle g}$

${\displaystyle g_{k}:=g(u_{k}^{-},u_{k}^{+})\,,\quad u_{k}^{\pm }:=u(t,x_{k}^{\pm })\,,}$

где обозначает левый и правый пределы. Наконец, DG-схему можно записать как${\displaystyle u_{k}^{\pm }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+g_{k+1}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-g_{k}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}}$

Скалярное эллиптическое уравнение [ править ]

Скалярное эллиптическое уравнение имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}-\partial _{xx}u&=f(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (a,b)\\u(x)&=g(x)\,\quad {\text{for}}\,\quad x=a,b\end{aligned}}}$

Это уравнение является уравнением стационарной теплопроводности, где - температура. Дискретизация пространства такая же, как указано выше. Напомним, что интервал разбивается на отрезки длины .${\displaystyle u}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle h}$

Введем скачок и усреднение функций в узле :${\displaystyle [{}\cdot {}]}$${\displaystyle \{{}\cdot {}\}}$${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle [v]{\Big |}_{x_{k}}=v(x_{k}^{+})-v(x_{k}^{-}),\quad \{v\}{\Big |}_{x_{k}}=0.5(v(x_{k}^{+})+v(x_{k}^{-}))}$

Разрывный метод Галеркина с внутренним штрафом (IPDG): найти удовлетворяющий${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle A(u_{h},v_{h})+A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\ell (v_{h})+\ell _{\partial }(v_{h})}$

где билинейная форма и являются${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\partial }}$

${\displaystyle A(u_{h},v_{h})=\sum _{k=1}^{N+1}\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}\partial _{x}u_{h}\partial _{x}v_{h}-\sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}u_{h}\}_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}+\varepsilon \sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}v_{h}\}_{x_{k}}[u_{h}]_{x_{k}}+{\frac {\sigma }{h}}\sum _{k=1}^{N}[u_{h}]_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}}$

и

${\displaystyle A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\partial _{x}u_{h}(a)v_{h}(a)-\partial _{x}u_{h}(b)v_{h}(b)-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)u_{h}(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)u_{h}(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}u_{h}(a)v_{h}(a)+u_{h}(b)v_{h}(b){\big )}}$

Линейные формы и являются${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell _{\partial }}$

${\displaystyle \ell (v_{h})=\int _{a}^{b}fv_{h}}$

и

${\displaystyle \ell _{\partial }(v_{h})=-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)g(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)g(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}g(a)v_{h}(a)+g(b)v_{h}(b){\big )}}$

Параметр штрафа является положительной константой. Увеличение его значения уменьшит скачки в разрывном решении. Член выбран равным для метода Галеркина с симметричным внутренним штрафом; он равен для метода несимметричного внутреннего штрафа Галеркина.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle -1}$${\displaystyle +1}$

Прямой разрывной метод Галеркина [ править ]

Прямой метод разрывного Галеркина (ЗГД) является новым разрывным методом Галеркина для решения задач диффузии. В 2009 году Лю и Ян впервые предложили метод DDG для решения уравнений диффузии. ^{[1] [2]} Преимущества этого метода по сравнению с разрывным методом Галеркина заключаются в том, что прямой разрывной метод Галеркина выводит числовой формат путем непосредственного взятия числового потока функции и первого члена производной без введения промежуточных переменных. Мы по-прежнему можем получить разумные численные результаты, используя этот метод, и процесс вывода более простой, объем вычислений значительно сокращается.

Прямой разрывной метод конечных элементов является ветвью разрывных методов Галеркина. ^[3] Он в основном включает преобразование задачи в вариационную форму, разделение на региональные единицы, построение базисных функций, формирование и решение разрывных уравнений конечных элементов, а также анализ сходимости и ошибок.

Например, рассмотрим нелинейное уравнение диффузии, которое является одномерным:

${\displaystyle U_{t}-{(a(U)\cdot U_{x})}_{x}=0\ \ in\ (0,1)\times (0,T)}$, в котором ${\displaystyle U(x,0)=U_{0}(x)\ \ on\ (0,1)}$

Дискретизация пространства [ править ]

Во-первых, определите , и . Поэтому мы провели пространственную дискретизацию . Также определите .${\displaystyle \left\{I_{j}=\left(x_{j-{\frac {1}{2}}},\ x_{j+{\frac {1}{2}}}\right),j=1...N\right\}}$${\displaystyle \Delta x_{j}=x_{j+{\frac {1}{2}}}-x_{j-{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Delta x=max_{1\leq j<N}\ \Delta x_{j}}$

Мы хотим найти приближение к таким образом, что , ,${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \forall t\in \left[0,T\right]}$${\displaystyle u\in \mathbb {V} _{\Delta x}}$

${\displaystyle \mathbb {V} _{\Delta x}:=\left\{v\in L^{2}\left(0,1\right):{v|}_{I_{j}}\in P^{k}\left(I-j\right),\ j=1,...,N\right\}}$, - пространство многочленов от степени at и ниже .${\displaystyle P^{k}\left(I-j\right)}$${\displaystyle I_{j}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Формулировка схемы [ править ]

Flux: .${\displaystyle h:=h\left(U,U_{x}\right)=a\left(U\right)U_{x}}$

${\displaystyle U}$: точное решение уравнения.

Умножаем уравнение на гладкую функцию, чтобы получить следующие уравнения:${\displaystyle v\in H^{1}\left(0,1\right)}$

${\displaystyle \int _{I_{j}}U_{t}vdx-h_{j+{\frac {1}{2}}}v_{j+{\frac {1}{2}}}+h_{j-{\frac {1}{2}}}+\int a\left(U\right)U_{x}v_{x}dx=0}$,

${\displaystyle \int _{I_{j}}U\left(x,0\right)v\left(x\right)dx=\int _{I_{j}}U_{0}\left(x\right)v\left(x\right)dx}$

Здесь произвольно, точное решение уравнения заменяется приближенным , то есть нужное нам численное решение получается путем решения дифференциальных уравнений.${\displaystyle v}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$

Числовой поток [ править ]

Выбор правильного числового потока имеет решающее значение для точности метода DDG.

Числовой поток должен удовлетворять следующим условиям:

♦ Это соответствует ${\displaystyle h={b\left(u\right)}_{x}=a\left(u\right)u_{x}}$

♦ Числовой поток консервативен в единственном значении на .${\displaystyle x_{j+{\frac {1}{2}}}}$

♦ Обладает стабильностью;${\displaystyle L^{2}}$

♦ Это может повысить точность метода.

Таким образом, дается общая схема числового потока:

${\displaystyle {\widehat {h}}=D_{x}b(u)=\beta _{0}{\frac {\left[b\left(u\right)\right]}{\Delta x}}+{\overline {{b\left(u\right)}_{x}}}+\sum _{m=1}^{\frac {k}{2}}\beta _{m}{\left(\Delta x\right)}^{2m-1}\left[\partial _{x}^{2m}b\left(u\right)\right]}$

В этом потоке - это максимальный порядок полиномов в двух соседних вычислительных блоках. является интегральной функцией. Обратите внимание, что в неоднородных сетках должно быть и в однородных сетках.${\displaystyle k}$${\displaystyle \left[\cdot \right]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left({\frac {\Delta x_{j}+\Delta x_{j+1}}{2}}\right)}$${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$

Оценки ошибок [ править ]

Обозначим, что ошибка между точным решением и численным решением составляет .${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle e=u-U}$

Погрешность измеряем следующей нормой:

${\displaystyle \left|\left|\left|v(\cdot ,t)\right|\right|\right|={\left(\int _{0}^{1}v^{2}dx+\left(1-\gamma \right)\int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}\int _{I_{j}}v_{x}^{2}dxd\tau +\alpha \int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}{\left[v\right]}^{2}/\Delta x\cdot d\tau \right)}^{0.5}}$

и у нас есть ,${\displaystyle \left|\left|\left|U(\cdot ,T)\right|\right|\right|\leq \left|\left|\left|U(\cdot ,0)\right|\right|\right|}$${\displaystyle \left|\left|\left|u(\cdot ,T)\right|\right|\right|\leq \left|\left|\left|U(\cdot ,0)\right|\right|\right|}$

См. Также [ править ]

• Метод Галеркина

Ссылки [ править ]

• Д. Н. Арнольд, Ф. Брецци, Б. Кокберн и Л. Д. Марини, Унифицированный анализ разрывных методов Галеркина для эллиптических задач , SIAM J. Numer. Анальный. 39 (5): 1749–1779, 2002.
• Г. Бейкер, Методы конечных элементов для эллиптических уравнений с использованием несоответствующих элементов , Math. Комп. 31 (1977), нет. 137, 45–59.
• А. Кангиани, З. Донг, Э. Х. Георгулис и П. Хьюстон, Разрывные методы Галеркина hp-версии на многоугольных и многогранных сетках , SpringerBriefs in Mathematics, (декабрь 2017 г.).
• В. Май, Дж Х, П. Ли, и Х. Чжао, « Эффективный и стабильный 2-D / 3-D анализ гибридной разрывной Галеркина во временной области с адаптивным критерием для произвольной формы antipads в диспергирующих парах параллельных пластин , ” IEEE Trans. Микроу. Теория Техн. , т. 65, нет. 10. С. 3671–3681, октябрь 2017 г.
• W. Mai et al. , « Простой критерий обновления для двумерного / трехмерного гибридного прерывистого метода Галеркина во временной области, контролирующего сравнительную ошибку », IEEE Trans. Микроу. Теория Техн. , т. 66, нет. 4. С. 1713–1722, апрель 2018 г.
• Б. Кокберн, Г. Е. Карниадакис и К.-В. Шу (ред.), Разрывные методы Галеркина. Теория, вычисления и приложения , Конспект лекций по вычислительным наукам и технике, 11. Springer-Verlag, Berlin, 2000.
• П. Лесен, П. А. Равиар. «О методе конечных элементов для решения уравнения переноса нейтронов». Математические аспекты конечных элементов в уравнениях с частными производными 33 (1974): 89–123.
• Ди Пьетро Д.А., Эрн А. Математические аспекты разрывных методов Галеркина . Mathématiques et Applications, Vol. 69, Springer-Verlag, Берлин, 2011 г.
• JS Hesthaven, T. Warburton, Узловые прерывистые методы Галеркина: алгоритмы, анализ и приложения . Тексты Springer по прикладной математике 54. Springer Verlag, Нью-Йорк, 2008.
• Б. Ривьер, Разрывные методы Галеркина для решения эллиптических и параболических уравнений: теория и реализация . SIAM Frontiers в прикладной математике, 2008.
• CFD Wiki http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinuous_Galerkin
• WH Reed и TR Hill, Методы треугольной сетки для уравнения переноса нейтронов , Tech. Отчет LA-UR-73–479, Научная лаборатория Лос-Аламоса, 1973.