Модель диффузии басов

Модель Bass или модель диффузии Bass была разработана Фрэнком Бассом . Он состоит из простого дифференциального уравнения , описывающего процесс принятия новых продуктов населением. Модель представляет собой обоснование того, как взаимодействуют текущие и потенциальные последователи нового продукта. Основная предпосылка модели состоит в том, что последователи могут быть классифицированы как новаторы или как имитаторы, а скорость и время принятия зависят от степени их новаторства и степени подражания среди последователей. Модель Басса широко использовалась в прогнозировании , особенно при прогнозировании продаж новых продуктов и технологических прогнозов.. Математически основная диффузия Басса - это уравнение Риккати с постоянными коэффициентами.

В 1969 году Фрэнк Басс опубликовал свою статью о новой модели роста потребительских товаров длительного пользования . ^{[1] : 1833 [2]} До этого Эверетт Роджерс опубликовал « Распространение инноваций» , очень влиятельную работу, в которой описывались различные этапы внедрения продукта. Басс внес в эту концепцию несколько математических идей. ^[3]

Формулировка модели [ править ]

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {f (t)} {1-F (t)}} = p + qF (t)}$ ^[2]

Где:

• ${\ Displaystyle \ F (т)}$ установленная базовая доля
• ${\ Displaystyle \ е (т)}$ - изменение установленной базовой доли, т. е. ${\ Displaystyle \ F (T) = {\ frac {d} {dt}} F (t)}$
• ${\ displaystyle \ p}$ коэффициент инновационности
• ${\ displaystyle \ q}$ коэффициент имитации

Объем продаж (или новых пользователей) во времени - это скорость изменения установленной базы, т. Е. Умноженная на конечный рыночный потенциал . При условии , что${\ Displaystyle \ s (т)}$${\ displaystyle \ t}$${\ Displaystyle \ е (т)}$${\ displaystyle \ m}$${\ Displaystyle \ F (0) = 0}$

${\ Displaystyle \ s (t) = mf (t)}$

${\ displaystyle \ s (t) = m {\ frac {(p + q) ^ {2}} {p}} {\ frac {e ^ {- (p + q) t}} {(1 + {\ гидроразрыв {q} {p}} e ^ {- (p + q) t}) ^ {2}}}}$ ^[2]

У нас есть декомпозиция, где - количество новаторов в определенный момент времени , а - количество подражателей в данный момент .${\displaystyle \ s(t)=s_{n}(t)+s_{i}(t)}$${\displaystyle \ s_{n}(t):=mp(1-F(t))}$${\displaystyle \ t}$${\displaystyle \ s_{i}(t):=mq(1-F(t))F(t)}$${\displaystyle \ t}$

Время пиковых продаж ${\displaystyle \ t^{*}}$

${\displaystyle \ t^{*}={\frac {\ln q-\ln p}{p+q}}}$ ^[2]

Объяснение [ править ]

Коэффициент p называется коэффициентом новаторства, внешнего воздействия или рекламного эффекта. Коэффициент q называется коэффициентом имитации, внутреннего влияния или сарафанного радио.

Типичные значения p и q, когда время t измеряется в годах: ^[4]

• Среднее значение p оказалось равным 0,03, а часто меньше 0,01.
• Среднее значение q оказалось равным 0,38 с типичным диапазоном от 0,3 до 0,5.

Вывод [ править ]

Модель диффузии Басса основана на предположении, что степень риска для восприятия продукта или услуги может быть определена как:${\displaystyle \lambda (t)}$

где есть функция плотности вероятности и является функцией выживания с будучи Интегральная функция распределения . Из этих основных определений в анализе выживаемости мы знаем, что:${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle S(t)=1-F(t)}$${\displaystyle F(t)}$Следовательно, дифференциальное уравнение для функции выживания эквивалентно:Интеграция и перестановка терминов дает нам следующее:Для любой функции выживания мы должны это иметь, и это подразумевает это . При этом условии функция выживания:${\displaystyle S(0)=1}$${\displaystyle A=p^{-1}}$Наконец, используя тот факт , мы находим, что диффузионная модель Басса для поглощения продукта:${\displaystyle F(t)=1-S(t)}$

Расширения модели [ править ]

Модель Generalized Bass (с ценами) [ править ]

Басс обнаружил, что его модель соответствует данным почти для всех представленных продуктов, несмотря на широкий диапазон переменных управленческих решений, например, ценообразование и рекламу. Это означает, что переменные решения могут сдвигать кривую Баса во времени, но форма кривой всегда одинакова.

Хотя было предложено множество расширений модели, только одно из них сводится к модели Басса при обычных обстоятельствах. ^[5]

Эта модель была разработана в 1994 году Фрэнком Бассом, Тричи Кришнан и Дипаком Джайном:

${\displaystyle {\frac {f(t)}{1-F(t)}}=(p+{q}F(t))x(t)}$

где - функция процентного изменения цены и других переменных${\displaystyle \ x(t)}$

Последовательные поколения [ править ]

Технологические продукты сменяют друг друга из поколения в поколение. В 1987 году Нортон и Басс расширили эту модель для продажи продуктов с постоянными повторными покупками. Формулировка для трех поколений следующая: ^[6]

${\displaystyle \ S_{1,t}=F(t_{1})m_{1}(1-F(t_{2}))}$

${\displaystyle \ S_{2,t}=F(t_{2})(m_{2}+F(t_{1})m_{1})(1-F(t_{3}))}$

${\displaystyle \ S_{3,t}=F(t_{3})(m_{3}+F(t_{2})(m_{2}+F(t_{1})m_{1}))}$

куда

• ${\displaystyle \ m_{i}=a_{i}M_{i}}$
• ${\displaystyle \ M_{i}}$- количество конечных пользователей продукта i- го поколения.
• ${\displaystyle \ a_{i}}$средний (непрерывный) уровень повторных покупок среди потребителей продукта i- го поколения
• ${\displaystyle \ t_{i}}$прошло время с момента появления продукта i- го поколения
• ${\displaystyle \ F(t_{i})={\frac {1-e^{-(p+q)t_{i}}}{1+{\frac {q}{p}}e^{-(p+q)t_{i}}}}}$

Было обнаружено, что члены p и q обычно одинаковы между последовательными поколениями.

Связь с другими s-образными кривыми [ править ]

Есть два частных случая модели диффузии Басса.

• Первый частный случай возникает, когда q = 0, когда модель сводится к экспоненциальному распределению .
• Второй частный случай сводится к логистическому распределению , когда p = 0.

Модель Басса является частным случаем гамма / смещенного распределения Гомперца (G / SG): Bemmaor ^[7] (1994)

Использование в социальных сетях [ править ]

Быстрый, недавний (по состоянию на начало 2007 года) рост онлайн-социальных сетей (и других виртуальных сообществ ) привел к более широкому использованию модели диффузии Басса. Модель диффузии Басса используется для оценки размера и темпов роста этих социальных сетей. Работа Кристиана Бокхейджа и соавторов ^[8] показывает, что модель Басса дает более пессимистическую картину будущего, чем альтернативные модели, такие как распределение Вейбулла и смещенное распределение Гомперца.

Принятие этой модели [ править ]

Модель является одним из наиболее цитируемых эмпирических обобщений в маркетинге; по состоянию на октябрь 2020 года статья «Рост новых продуктов для образцовых потребительских товаров длительного пользования», опубликованная в Management Science, имела (приблизительно) 9725 цитирований в Google Scholar. ^[9]

Эта модель широко использовалась в маркетинге и менеджменте. В 2004 году он был включен в десятку наиболее цитируемых работ за 50-летнюю историю науки управления . ^[3] Он занял пятое место и был единственным маркетинговым изданием в списке. Впоследствии он был перепечатан в декабрьском выпуске журнала Management Science за 2004 год . ^[3]

См. Также [ править ]

• Распространение инноваций
• Прогнозирование
• Модель ленивого пользователя
• Сдвинутое распределение Гомперца

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Официальный сайт Фрэнка М. Басса