Векторное поле Бельтрами

В векторном исчислении , векторное поле Бельтров , названное в честь Бельтров , является векторным полем в трех измерениях, которая параллельна к своему завитку . То есть F - векторное поле Бельтрами при условии, что

{\ displaystyle \ mathbf {F} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {F}) = 0.}

Таким образом , и параллельные векторы Другими словами, . ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ ${\ Displaystyle \ набла \ раз \ mathbf {F}}$ ${\ Displaystyle \ набла \ раз \ mathbf {F} = \ лямбда \ mathbf {F}}$

Если является соленоидальным, то есть, например, для несжимаемой жидкости или магнитного поля, идентичность становится, и это приводит к ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ ${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {F} = 0}$ ${\ Displaystyle \ набла \ раз (\ набла \ раз \ mathbf {F}) \ экв - \ набла ^ {2} \ mathbf {F} + \ набла (\ набла \ cdot \ mathbf {F})}$ $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F}$

-\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla \times (\lambda \mathbf {F} )

и если мы далее предположим, что это константа, мы приходим к простой форме $\lambda$

\nabla ^{2}\mathbf {F} =-\lambda ^{2}\mathbf {F} .

Векторные поля Бельтрами с ненулевым ротором соответствуют евклидовым контактным формам в трех измерениях.

Векторное поле

\mathbf {F} =-{\frac {z}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {1}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {j}

кратно стандартной контактной структуре - z i + j и дает пример векторного поля Бельтрами.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Арис, Резерфорд (1989), Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости , Дувр, ISBN 0-486-66110-5
Лахтакия, Ахлеш (1994), Поля Бельтрами в хиральных средах , World Scientific, ISBN 981-02-1403-0
Etnyre, J .; Ghrist, R. (2000), "Контакт топология и гидродинамика I. Бельтры поле и Зайферты гипотеза.", Нелинейность , 13 (2): 441-448, Bibcode : 2000Nonli..13..441E , DOI : 10,1088 / 0951 -7715/13/2/306.

Эта статья о геометрии незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .