функция Бесселя

Функции Бесселя , впервые определенные математиком Даниэлем Бернулли , а затем обобщенные Фридрихом Бесселем , являются каноническими решениями y ( x ) дифференциального уравнения Бесселя

Наиболее важными являются случаи, когда является целым или полуцелым числом . Функции Бесселя для целых чисел также известны как цилиндрические функции или цилиндрические гармоники , потому что они появляются в решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах . Сферические функции Бесселя с полуцелым числом получаются при решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах .

Функция Бесселя является обобщением функции синуса. Его можно интерпретировать как колебание струны с переменной толщиной, переменным натяжением (или обоими условиями одновременно); колебания в среде с переменными свойствами; колебания мембраны диска и др.

Уравнение Бесселя возникает при нахождении сепарабельных решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических или сферических координатах . Поэтому функции Бесселя особенно важны для многих задач распространения волн и статических потенциалов. При решении задач в цилиндрических системах координат получают функции Бесселя целого порядка ( α = n ); в сферических задачах получаются полуцелые порядки ( α = n + 1/2 ) . Например:

Функции Бесселя появляются и в других задачах, таких как обработка сигналов (например, см. FM-синтез звука , окно Кайзера или фильтр Бесселя ).

Поскольку это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств удобны различные составы этих растворов. Различные варианты приведены в таблице ниже и описаны в следующих разделах.

Функции Бесселя — это радиальная часть форм колебаний круглого барабана .
График функции Бесселя первого рода J n(z) с n=0,5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
График функции Бесселя первого рода J α ( x ) для целых порядков α = 0, 1, 2
График функции Бесселя второго рода Y n(z) с n=0,5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
График функции Бесселя второго рода Y α ( x ) для целых порядков α = 0, 1, 2
График функции Ганкеля первого рода H n^(1)(z) с n=-0,5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
График функции Ганкеля второго рода H n^(2)(z) с n=-0,5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
Модифицированные функции Бесселя первого рода I α ( x ) для α = 0, 1, 2, 3
Модифицированные функции Бесселя второго рода K α ( x ) для α = 0, 1, 2, 3
График сферической функции Бесселя первого рода jn(z) с n=0,5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
График сферической функции Бесселя второго рода yn(z) с n=0,5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
Сферические функции Бесселя первого рода j n ( x ) для n = 0, 1, 2
Сферические функции Бесселя второго рода, y n ( x ) для n = 0, 1, 2
График сферической функции Ганкеля первого рода hn^(1)(z) с n=-0,5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
График сферической функции Ганкеля второго рода hn^(2)(z) с n=-0,5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D