Бхабха рассеяние

Диаграммы Фейнмана
Аннигиляция
Рассеяние

В квантовой электродинамике , Бхабх рассеяние является электрон - позитрон рассеяния процесса:

${\ displaystyle e ^ {+} e ^ {-} \ rightarrow e ^ {+} e ^ {-}}$

В это взаимодействие вносят вклад две диаграммы Фейнмана первого порядка : процесс аннигиляции и процесс рассеяния. Рассеяние Бхабхи названо в честь индийского физика Хоми Дж. Бхабха .

Скорость рассеяния Бхабхи используется в качестве монитора светимости в электрон-позитронных коллайдерах.

Дифференциальное сечение [ править ]

В главном порядке осредненное по спину дифференциальное сечение этого процесса равно

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} (\ cos \ theta)}} = {\ frac {\ pi \ alpha ^ {2}} {s}} \ left ( u ^ {2} \ left ({\ frac {1} {s}} + {\ frac {1} {t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {t} {s}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {s} {t}} \ right) ^ {2} \ right) \,}$

где s , t и u - переменные Мандельштама , - постоянная тонкой структуры , - угол рассеяния.${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ theta}$

Это сечение вычисляется без учета массы электрона по отношению к энергии столкновения и включает только вклад фотонного обмена. Это верное приближение при энергиях столкновения, малых по сравнению с масштабом масс Z-бозона , около 91 ГэВ; при более высоких энергиях также становится важным вклад Z-бозонного обмена.

Переменные Мандельштама [ править ]

В этой статье переменные Мандельштама определяются

${\ Displaystyle s = \,}$	${\ Displaystyle (к + р) ^ {2} = \,}$	${\ Displaystyle (к '+ р') ^ {2} \ приблизительно \,}$	${\ displaystyle 2k \ cdot p \ приблизительно \,}$	${\ displaystyle 2k '\ cdot p' \,}$
${\ Displaystyle т = \,}$	${\ Displaystyle (к-к ') ^ {2} = \,}$	${\ Displaystyle (п-п ') ^ {2} \ приблизительно \,}$	${\ displaystyle -2k \ cdot k '\ приблизительно \,}$	${\ Displaystyle -2p \ cdot p '\,}$
${\ Displaystyle и = \,}$	${\ Displaystyle (к-р ') ^ {2} = \,}$	${\ Displaystyle (п-к ') ^ {2} \ приблизительно \,}$	${\displaystyle -2k\cdot p'\approx \,}$	${\displaystyle -2k'\cdot p\,}$

где приближения приведены для высокоэнергетического (релятивистского) предела.

Получение неполяризованного поперечного сечения [ править ]

Элементы матрицы [ править ]

И диаграммы рассеяния, и диаграммы аннигиляции дают вклад в матричный элемент перехода. Допустим, что k и k ' представляют собой четыре импульса позитрона, а p и p' представляют четыре импульса электрона, и, используя правила Фейнмана, можно показать следующие диаграммы, дающие эти матричные элементы:

			Где мы используем: являются матрицы гаммы , являются четырьмя спинорами для фермионов, а являются четырьмя спинорами для анти-фермионов (см Четыре спиноров ). ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\,}$ ${\displaystyle u,\ \mathrm {and} \ {\bar {u}}\,}$ ${\displaystyle v,\ \mathrm {and} \ {\bar {v}}\,}$
	(рассеяние)	(аннигиляция)
${\displaystyle {\mathcal {M}}=\,}$	${\displaystyle -e^{2}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'}\right){\frac {1}{(k-k')^{2}}}\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p}\right)}$	${\displaystyle +e^{2}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p}\right){\frac {1}{(k+p)^{2}}}\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'}\right)}$

Обратите внимание на относительную разницу знаков между двумя диаграммами.

Квадрат матричного элемента [ править ]

Чтобы вычислить неполяризованное поперечное сечение , необходимо усреднить спины входящих частиц ( возможные значения s _e- и s _{e +} ) и просуммировать спины исходящих частиц. То есть,

${\displaystyle {\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}\,}$	${\displaystyle ={\frac {1}{(2s_{e-}+1)(2s_{e+}+1)}}\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{4}}\sum _{s=1}^{2}\sum _{s'=1}^{2}\sum _{r=1}^{2}\sum _{r'=1}^{2}|{\mathcal {M}}|^{2}\,}$

Сначала посчитайте :${\displaystyle |{\mathcal {M}}|^{2}\,}$

${\displaystyle |{\mathcal {M}}|^{2}\,}$знак равно	${\displaystyle e^{4}\left|{\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\right|^{2}\,}$	(рассеяние)
	${\displaystyle {}-e^{4}\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\right)^{*}\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\right)\,}$	(вмешательство)
	${\displaystyle {}-e^{4}\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\right)\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\right)^{*}\,}$	(вмешательство)
	${\displaystyle {}+e^{4}\left|{\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\right|^{2}\,}$	(аннигиляция)

Срок рассеяния (t-канал) [ править ]

Величина в квадрате M [ править ]

${\displaystyle |{\mathcal {M}}|^{2}\,}$	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p}){\Big )}^{*}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}){\Big )}\,}$	${\displaystyle (1)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})^{*}({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})^{*}{\Big )}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}){\Big )}\,}$	${\displaystyle (2)\,}$
	(комплексное сопряжение изменит порядок)
	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}\left({\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }v_{k}\right)\left({\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }u_{p'}\right){\Big )}{\Big (}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'}\right)\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}\right){\Big )}\,}$	${\displaystyle (3)\,}$
	(переместите члены, которые зависят от одного и того же импульса, рядом друг с другом)
	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left({\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }v_{k}\right)\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'}\right)\left({\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }u_{p'}\right)\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}\right)\,}$	${\displaystyle (4)\,}$

Суммировать спины [ править ]

Затем мы хотели бы просуммировать спины всех четырех частиц. Пусть s и s ' - спин электрона, а r и r' - спин позитрона.

${\displaystyle \sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,}$	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left(\sum _{r'}{\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }(\sum _{r}v_{k}{\bar {v}}_{k})\gamma ^{\nu }v_{k'}\right)\left(\sum _{s}{\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }(\sum _{s'}{u_{p'}{\bar {u}}_{p'}})\gamma _{\nu }u_{p}\right)\,}$	${\displaystyle (5)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\operatorname {Tr} \left({\Big (}\sum _{r'}v_{k'}{\bar {v}}_{k'}{\Big )}\gamma ^{\mu }{\Big (}\sum _{r}v_{k}{\bar {v}}_{k}{\Big )}\gamma ^{\nu }\right)\operatorname {Tr} \left({\Big (}\sum _{s}u_{p}{\bar {u}}_{p}{\Big )}\gamma _{\mu }{\Big (}\sum _{s'}{u_{p'}{\bar {u}}_{p'}}{\Big )}\gamma _{\nu }\right)\,}$	${\displaystyle (6)\,}$
	(теперь используйте отношения полноты )
	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\operatorname {Tr} \left((k\!\!\!/'-m)\gamma ^{\mu }(k\!\!\!/-m)\gamma ^{\nu }\right)\cdot \operatorname {Tr} \left((p\!\!\!/'+m)\gamma _{\mu }(p\!\!\!/+m)\gamma _{\nu }\right)\,}$	${\displaystyle (7)\,}$
	(теперь используйте удостоверения трассировки )
	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left(4\left({k'}^{\mu }k^{\nu }-(k'\cdot k)\eta ^{\mu \nu }+k'^{\nu }k^{\mu }\right)+4m^{2}\eta ^{\mu \nu }\right)\left(4\left({p'}_{\mu }p_{\nu }-(p'\cdot p)\eta _{\mu \nu }+p'_{\nu }p_{\mu }\right)+4m^{2}\eta _{\mu \nu }\right)\,}$	${\displaystyle (8)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {32{e^{4}}}{(k-k')^{4}}}\left((k'\cdot p')(k\cdot p)+(k'\cdot p)(k\cdot p')-m^{2}p'\cdot p-m^{2}k'\cdot k+2m^{4}\right)\,}$	${\displaystyle (9)\,}$

Это точная форма. В случае электронов обычно интересуют энергетические масштабы, которые намного превышают массу электрона. Пренебрежение массой электрона дает упрощенный вид:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,}$	${\displaystyle ={\frac {32e^{4}}{4(k-k')^{4}}}\left((k'\cdot p')(k\cdot p)+(k'\cdot p)(k\cdot p')\right)\,}$
	(используйте переменные Мандельштама в этом релятивистском пределе)
	${\displaystyle ={\frac {8e^{4}}{t^{2}}}\left({\tfrac {1}{2}}s{\tfrac {1}{2}}s+{\tfrac {1}{2}}u{\tfrac {1}{2}}u\right)\,}$
	${\displaystyle =2e^{4}{\frac {s^{2}+u^{2}}{t^{2}}}\,}$

Срок аннигиляции (s-канал) [ править ]

Процесс нахождения аннигиляционного члена аналогичен описанному выше. Поскольку две диаграммы связаны перекрестной симметрией , а частицы в начальном и конечном состояниях совпадают, достаточно переставить импульсы, получив

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,}$	${\displaystyle ={\frac {32e^{4}}{4(k+p)^{4}}}\left((k\cdot k')(p\cdot p')+(k'\cdot p)(k\cdot p')\right)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {8e^{4}}{s^{2}}}\left({\tfrac {1}{2}}t{\tfrac {1}{2}}t+{\tfrac {1}{2}}u{\tfrac {1}{2}}u\right)\,}$
	${\displaystyle =2e^{4}{\frac {t^{2}+u^{2}}{s^{2}}}\,}$

(Это пропорционально , где угол рассеяния в системе центра масс.)${\displaystyle (1+\cos ^{2}\theta )}$${\displaystyle \theta }$

Решение [ править ]

Оценка интерференционного члена по тем же принципам и добавление трех членов дает окончательный результат

${\displaystyle {\frac {\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}{2e^{4}}}={\frac {u^{2}+s^{2}}{t^{2}}}+{\frac {2u^{2}}{st}}+{\frac {u^{2}+t^{2}}{s^{2}}}\,}$

Упрощение шагов [ править ]

Отношения полноты [ править ]

Соотношения полноты для четырех спиноров u и v имеют вид

${\displaystyle \sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}{\bar {u}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\!/+m\,}$

${\displaystyle \sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}{\bar {v}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\!/-m\,}$

куда

${\displaystyle p\!\!\!/=\gamma ^{\mu }p_{\mu }\,}$      (см. обозначение слэша Фейнмана )

${\displaystyle {\bar {u}}=u^{\dagger }\gamma ^{0}\,}$

Идентификаторы трассировки [ править ]

Чтобы упростить трассировку гамма-матриц Дирака , необходимо использовать тождества трасс. В этой статье используются три:

1. След любого продукта с нечетным числом от «ы равна нулю${\displaystyle \gamma _{\mu }\,}$
2. ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(\gamma _{\rho }\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }\gamma _{\nu }\right)=4\left(\eta _{\rho \mu }\eta _{\sigma \nu }-\eta _{\rho \sigma }\eta _{\mu \nu }+\eta _{\rho \nu }\eta _{\mu \sigma }\right)\,}$

Используя эти два, можно обнаружить, что, например,

${\displaystyle \operatorname {Tr} \left((p\!\!\!/'+m)\gamma _{\mu }(p\!\!\!/+m)\gamma _{\nu }\right)\,}$	${\displaystyle =\operatorname {Tr} \left(p\!\!\!/'\gamma _{\mu }p\!\!\!/\gamma _{\nu }\right)+\operatorname {Tr} \left(m\gamma _{\mu }p\!\!\!/\gamma _{\nu }\right)\,}$
	${\displaystyle +\operatorname {Tr} \left(p\!\!\!/'\gamma _{\mu }m\gamma _{\nu }\right)+\operatorname {Tr} \left(m^{2}\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right)\,}$
	(два средних члена равны нулю из-за (1))
	${\displaystyle =\operatorname {Tr} \left(p\!\!\!/'\gamma _{\mu }p\!\!\!/\gamma _{\nu }\right)+m^{2}\operatorname {Tr} \left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right)\,}$
	(используйте тождество (2) для термина справа)
	${\displaystyle ={p'}^{\rho }p^{\sigma }\operatorname {Tr} \left(\gamma _{\rho }\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }\gamma _{\nu }\right)+m^{2}\cdot 4\eta _{\mu \nu }\,}$
	(теперь используйте тождество (3) для члена слева)
	${\displaystyle ={p'}^{\rho }p^{\sigma }4\left(\eta _{\rho \mu }\eta _{\sigma \nu }-\eta _{\rho \sigma }\eta _{\mu \nu }+\eta _{\rho \nu }\eta _{\mu \sigma }\right)+4m^{2}\eta _{\mu \nu }\,}$
	${\displaystyle =4\left({p'}_{\mu }p_{\nu }-(p'\cdot p)\eta _{\mu \nu }+p'_{\nu }p_{\mu }\right)+4m^{2}\eta _{\mu \nu }\,}$

Использует [ редактировать ]

Рассеяние Бхабхи использовалось в качестве монитора светимости в ряде экспериментов по физике e ⁺ e ^- коллайдера. Точное измерение светимости необходимо для точных измерений поперечных сечений.

Малоугловое рассеяние Бхабхи использовалось для измерения светимости стэнфордского большого детектора (SLD) в 1993 г. с относительной погрешностью менее 0,5%. ^[1]

Электрон-позитронные коллайдеры, работающие в области низколежащих адронных резонансов (примерно от 1 ГэВ до 10 ГэВ), такие как Пекинский электронный синхротрон (BES) и эксперименты Belle и BaBar «B-factory», используют большой угол Bhabha рассеяние как монитор яркости. Для достижения желаемой точности на уровне 0,1% экспериментальные измерения необходимо сравнить с теоретическим расчетом, включая радиационные поправки следующего за ведущим порядком . ^[2] Измерение высокой точности от общего адронного сечения при этих низких энергиях является важным вкладом в теоретический расчет аномального магнитных дипольного момента от мюона, который используется для ограничения суперсимметрии и других моделей физики, выходящих за рамки Стандартной модели .

Ссылки [ править ]

• Хальзен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс современной физики элементарных частиц . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-88741-2.
• Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1994). Введение в квантовую теорию поля . Издательство "Персей". ISBN 0-201-50397-2.
• Рассеяние бхабхи на arxiv.org