Сюжет Боде

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Заговор Боде»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Рисунок 1 (а): График Боде для фильтра верхних частот первого порядка (однополюсный) ; прямолинейные аппроксимации обозначены как «полюс Боде»; фаза изменяется от 90 ° на низких частотах (из-за вклада числителя, который составляет 90 ° на всех частотах) до 0 ° на высоких частотах (где фазовый вклад знаменателя равен -90 ° и нивелирует вклад числителя) ).

Рисунок 1 (b): График Боде для фильтра нижних частот первого порядка (однополюсный) ; прямолинейные аппроксимации обозначены как «полюс Боде»; фаза на 90 ° ниже, чем на рисунке 1 (а), потому что фазовый вклад числителя равен 0 ° на всех частотах.

В области электротехники и теории управления , A Боде / б oʊ д я / является графиком из частотной характеристики системы. Обычно это комбинация графика амплитуды Боде, выражающего величину (обычно в децибелах ) частотной характеристики, и графика фазы Боде, выражающего фазовый сдвиг .

Первоначально задуманный Хендриком Уэйдом Боде в 1930-х годах, график представляет собой асимптотическое приближение частотной характеристики с использованием отрезков прямых линий . ^[1]

Обзор [ править ]

Среди его несколько важных вкладов в теории цепей и теории управления , инженер Хендрик Wade Боде , работая в Bell Labs в 1930 году , разработал простой , но точный метод для построения графика усиления и фазового сдвига участков. Они носят его имя, Бод участок усиления и фаза участок Бода . «Бод» часто произносятся / б oʊ д я / BOH -dee хотя произношение голландского Бо-Дух. ( Голландский:  [ˈboːdə] ). ^{[2] [3]}

Боде столкнулся с проблемой разработки стабильных усилителей с обратной связью для использования в телефонных сетях. Он разработал графическую технику дизайн Боде участков , чтобы показать запас усиления и запас по фазе требуется для поддержания стабильности при изменении в характеристиках цепи , вызванных в процессе производства или в процессе работы. ^[4] Разработанные принципы были применены к задачам проектирования сервомеханизмов и других систем управления с обратной связью. График Боде - это пример анализа в частотной области .

Определение [ править ]

График Боде для линейной, неизменной во времени системы с передаточной функцией ( являющейся комплексной частотой в области Лапласа ) состоит из графика амплитуды и графика фазы.${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle s}$

Величина участок Боде является графиком функции частоты (с являющимся мнимой единицей ). Оу от величины участка логарифмической и величина задается в децибелах , т.е. значение величины строится на оси у .${\displaystyle |H(s=j\omega )|}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle j}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle |H|}$${\displaystyle 20\log _{10}|H|}$

Фазы участок Боде представляет график фазы , обычно выражается в градусах, передаточной функции как функции . Фаза откладывается на той же логарифмической оси, что и график величины, но значение фазы откладывается на линейной вертикальной оси.${\displaystyle \arg \left(H(s=j\omega )\right)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

Частотная характеристика [ править ]

В этом разделе показано, что график Боде - это визуализация частотной характеристики системы.

Рассмотрим линейную, не зависящую от времени систему с передаточной функцией . Предположим, что система подвержена синусоидальному входному сигналу с частотой ,${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle u(t)=\sin(\omega t)\;,}$

который применяется постоянно, то есть время от времени . Ответ будет в форме${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle y(t)=y_{0}\sin(\omega t+\varphi )\;,}$

то есть также синусоидальный сигнал с амплитудой, сдвинутой по фазе относительно входа на фазу .${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle \varphi }$

Можно показать ^[5], что величина отклика равна

${\displaystyle y_{0}=|H(\mathrm {j} \omega )|\;}$

( 1 )

и что фазовый сдвиг равен

${\displaystyle \varphi =\arg H(\mathrm {j} \omega )\;.}$

( 2 )

Схема доказательства этих уравнений приведена в приложении .

Таким образом, на вход с частотой система реагирует на той же частоте выходным сигналом, который усиливается с коэффициентом и сдвигается по фазе на . Эти величины, таким образом, характеризуют частотную характеристику и показаны на графике Боде.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$${\displaystyle \arg(H(\mathrm {j} \omega ))}$

Правила для сюжета Боде ручной работы [ править ]

Для многих практических задач подробные графики Боде могут быть аппроксимированы отрезками прямых линий, которые являются асимптотами точного отклика. Эффект каждого из членов передаточной функции с множеством элементов может быть аппроксимирован набором прямых линий на графике Боде. Это позволяет графически решить общую функцию частотной характеристики. До широкого распространения цифровых компьютеров графические методы широко использовались, чтобы уменьшить необходимость в утомительных вычислениях; графическое решение может быть использовано для определения возможных диапазонов параметров для новой конструкции.

Предпосылка графика Боде состоит в том, что можно рассматривать журнал функции в форме:

${\displaystyle f(x)=A\prod (x-c_{n})^{a_{n}}}$

как сумма журналов его нулей и полюсов :

${\displaystyle \log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}\log(x-c_{n})\;.}$

Эта идея явно используется в методе построения фазовых диаграмм. Метод построения графиков амплитуды неявно использует эту идею, но поскольку логарифм амплитуды каждого полюса или нуля всегда начинается с нуля и имеет только одно изменение асимптоты (прямые линии), метод можно упростить.

График амплитуды прямой [ править ]

Амплитуда в децибелах обычно используется для определения децибел. Учитывая передаточную функцию в виде${\displaystyle {\text{dB}}=20\log _{10}(X)}$

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}}}$

где и являются константами, , , и передаточная функция:${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }$${\displaystyle a_{n},b_{n}>0}$${\displaystyle H}$

• при каждом значении s, где (ноль), увеличивайте наклон линии на декаду .${\displaystyle \omega =x_{n}}$${\displaystyle 20\cdot a_{n}\,\mathrm {dB} }$
• при каждом значении s, где (полюс), уменьшайте наклон линии на десятилетие.${\displaystyle \omega =y_{n}}$${\displaystyle 20\cdot b_{n}\,\mathrm {dB} }$
• Начальное значение графика зависит от границ. Начальная точка находится путем ввода начальной угловой частоты в функцию и нахождения .${\displaystyle \omega }$${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$
• Начальный наклон функции при начальном значении зависит от количества и порядка нулей и полюсов, которые находятся на значениях ниже начального значения, и находится с использованием первых двух правил.

Для обработки неприводимых многочленов 2-го порядка во многих случаях их можно аппроксимировать как .${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle ({\sqrt {a}}x+{\sqrt {c}})^{2}}$

Заметим , что нули и полюсы происходит , когда это равно определенный или . Это происходит потому , что рассматриваемая функция является величиной , и , поскольку она является сложной функцией, . Таким образом, в любом месте, где есть ноль или полюс, включающий член , величина этого члена равна .${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )}$${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|={\sqrt {H\cdot H^{*}}}}$${\displaystyle (s+x_{n})}$${\displaystyle {\sqrt {(x_{n}+\mathrm {j} \omega )\cdot (x_{n}-\mathrm {j} \omega )}}={\sqrt {x_{n}^{2}+\omega ^{2}}}}$

Скорректированный график амплитуды [ править ]

Чтобы исправить прямолинейный график амплитуды:

• на каждом нуле ставьте точку над линией,${\displaystyle 3\cdot a_{n}\ \mathrm {dB} }$
• на каждом полюсе поставьте точку ниже линии,${\displaystyle 3\cdot b_{n}\ \mathrm {dB} }$
• проведите плавную кривую через эти точки, используя прямые линии как асимптоты (линии, к которым приближается кривая).

Обратите внимание, что этот метод исправления не включает в себя обработку сложных значений или . В случае неприводимого многочлена лучший способ исправить график - это фактически вычислить величину передаточной функции на полюсе или нуле, соответствующем неприводимому многочлену, и поставить точку над или под линией на этом полюсе или нуле. .${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle y_{n}}$

Прямолинейный фазовый график [ править ]

Учитывая передаточную функцию в той же форме, что и выше:

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}}}$

идея состоит в том, чтобы нарисовать отдельные графики для каждого полюса и нуля, а затем сложить их. Фактическая фазовая кривая представлена ​​как .${\displaystyle -\arctan \left({\tfrac {\mathrm {Im} [H(s)]}{\mathrm {Re} [H(s)]}}\right)}$

Чтобы нарисовать фазовый график для каждого полюса и нуля:

• если положительный, начальная линия (с нулевым наклоном) на${\displaystyle A}$${\displaystyle 0\deg }$
• если отрицательное, начальная линия (с нулевым наклоном) на${\displaystyle A}$${\displaystyle -180\deg }$
• если сумма количества нестабильных нулей и полюсов нечетная, добавьте 180 градусов к этому основанию
• при каждом (для стабильных нулей - ), увеличить наклон на градуса за десятилетие, начиная одно десятилетие , прежде чем (например )${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$${\displaystyle \operatorname {Re} (z)<0}$${\displaystyle 45\cdot a_{n}}$${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$${\displaystyle {\frac {|x_{n}|}{10}}}$
• при каждом (для стабильных полюсов - ), уменьшить наклон на градуса в десятилетие, начиная одно десятилетие , прежде чем (например: )${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$${\displaystyle \operatorname {Re} (p)<0}$${\displaystyle 45\cdot b_{n}}$${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$${\displaystyle {\frac {|y_{n}|}{10}}}$
• «нестабильные» (правая полуплоскость) полюса и нули ( ) имеют противоположное поведение${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
• снова сгладьте наклон, когда фаза изменилась на градусы (для нуля) или на градусы (для полюса),${\displaystyle 90\cdot a_{n}}$${\displaystyle 90\cdot b_{n}}$
• После построения одной линии для каждого полюса или нуля сложите линии вместе, чтобы получить окончательный фазовый график; то есть последний фазовый график представляет собой суперпозицию каждого предыдущего фазового графика.

Пример [ править ]

Чтобы построить прямолинейный график для фильтра нижних частот первого порядка (однополюсного), нужно рассматривать передаточную функцию с точки зрения угловой частоты:

${\displaystyle H_{\mathrm {lp} }(\mathrm {j} \omega )={1 \over 1+\mathrm {j} {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}\;.}$

Вышеприведенное уравнение является нормализованной формой передаточной функции. График Боде показан на Рисунке 1 (b) выше, а затем обсуждается построение аппроксимации прямой линии.

График величины [ править ]

Величина (в децибелах ) вышеупомянутой передаточной функции (нормализованная и преобразованная в форму угловой частоты), заданная выражением для усиления в децибелах :${\displaystyle A_{\mathrm {vdB} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\mathrm {vdB} }&=20\cdot \log |H_{\mathrm {lp} }(\mathrm {j} \omega )|\\&=20\cdot \log {\frac {1}{\left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\mathrm {c} }}}\right|}}\\&=-20\cdot \log \left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\mathrm {c} }}}\right|\\&=-10\cdot \log \left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{\mathrm {c} }^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

затем построенный в зависимости от входной частоты в логарифмическом масштабе, может быть аппроксимирован двумя линиями и образует асимптотический (приблизительный) график Боде передаточной функции:${\displaystyle \omega }$

• первая линия для угловых частот ниже представляет собой горизонтальную линию на уровне 0 дБ, поскольку на низких частотах этот член мал и им можно пренебречь, в результате чего уравнение усиления в децибелах, приведенное выше, равно нулю,${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }}$${\displaystyle {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}$
• вторая линия для угловых частот выше - это линия с наклоном -20 дБ на декаду, поскольку на высоких частотах преобладает член, а выражение усиления в децибелах выше упрощается до прямой линии с наклоном на декаду.${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }}$${\displaystyle {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}$${\displaystyle -20\log {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}$${\displaystyle -20\,\mathrm {dB} }$

Эти две линии встречаются на угловой частоте . Из графика можно увидеть, что для частот значительно ниже угловой частоты схема имеет затухание 0 дБ, что соответствует единичному усилению полосы пропускания, то есть амплитуда выходного сигнала фильтра равна амплитуде входного сигнала. Частоты выше краевой частоты ослабляются - чем выше частота, тем выше затухание .

Фазовый график [ править ]

Фазовый график Боде получается путем построения фазового угла передаточной функции, заданной как

${\displaystyle \arg H_{\mathrm {lp} }(\mathrm {j} \omega )=-\tan ^{-1}{\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}$

versus , где и - входная угловая частота и угловая частота среза соответственно. Для входных частот, намного меньших, чем угол, соотношение мало и, следовательно, фазовый угол близок к нулю. По мере увеличения отношения абсолютное значение фазы увеличивается и становится –45 градусов, когда . Когда отношение увеличивается для входных частот, намного превышающих частоту среза, фазовый угол асимптотически приближается к -90 градусов. Шкала частот для фазового графика является логарифмической.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }}$${\displaystyle {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}$${\displaystyle \omega =\omega _{\mathrm {c} }}$

Нормализованный сюжет [ править ]

Горизонтальная ось частот как на графике амплитуды, так и на фазовом графике может быть заменена нормализованным (безразмерным) отношением частот . В таком случае говорят, что график нормализован, и единицы частот больше не используются, поскольку все входные частоты теперь выражаются как кратные частоты среза .${\displaystyle {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}$${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }}$

Пример с нулем и полюсом [ править ]

Рисунки 2-5 дополнительно иллюстрируют построение графиков Боде. Этот пример с полюсом и нулем показывает, как использовать суперпозицию. Для начала компоненты представлены отдельно.

На рис. 2 показан график величин Боде для нулевого и нижнего полюса, и они сравниваются с графиками прямой линии Боде. Прямолинейные графики горизонтальны до положения полюса (нуля), а затем падают (повышаются) со скоростью 20 дБ / декаду. Второй рисунок 3 делает то же самое для фазы. Фазовые графики горизонтальны до десятикратного коэффициента частоты ниже положения полюса (нуля), а затем падают (повышаются) со скоростью 45 ° / декаду, пока частота не станет в десять раз выше, чем положение полюса (нуля). Затем графики снова становятся горизонтальными на более высоких частотах с окончательным полным изменением фазы на 90 °.

На рисунках 4 и 5 показано, как выполняется наложение (простое сложение) графика полюса и нуля. Прямые графики Боде снова сравниваются с точными графиками. Ноль перемещен на более высокую частоту, чем полюс, чтобы сделать пример более интересным. Обратите внимание на рис. 4, что падение полюса на 20 дБ / декаду задерживается повышением нуля на 20 дБ / декада, что приводит к горизонтальному графику амплитуды для частот выше нулевого положения. Обратите внимание на рис. 5 на фазовом графике, что аппроксимация прямой линии довольно приблизительна в области, где и полюс, и ноль влияют на фазу. Также обратите внимание на рис. 5, что диапазон частот, в котором фаза изменяется на прямолинейном графике, ограничен частотами в десять раз выше и ниже положения полюса (нуля). Если присутствуют фаза полюса и ноль,

• Пример с полюсом и нулем
• Рисунок 2: График величины Боде для нулевого и нижнего полюса; кривые с пометкой "Боде" - это прямолинейные графики Боде.

• Рисунок 3: Фазовый график Боде для нулевого и нижнего полюса; кривые с пометкой "Боде" - это прямолинейные графики Боде.

• Рисунок 4: График магнитуды Боде для комбинации полюс-ноль; расположение нуля в десять раз выше, чем на рисунках 2 и 3; кривые с пометкой "Боде" - это прямолинейные графики Боде.

• Рисунок 5: Фазовый график Боде для комбинации полюс-ноль; расположение нуля в десять раз выше, чем на рисунках 2 и 3; кривые с пометкой "Боде" - это прямолинейные графики Боде.

Запас по усилению и запас по фазе [ править ]

Графики Боде используются для оценки стабильности усилителей с отрицательной обратной связью путем определения запаса по усилению и фазе усилителя. Понятия усиления и запаса по фазе основаны на выражении усиления для усилителя с отрицательной обратной связью, заданном формулой

${\displaystyle A_{\mathrm {FB} }={\frac {A_{\mathrm {OL} }}{1+\beta A_{\mathrm {OL} }}}\;,}$

где А _FB коэффициент усиления усилителя с обратной связью (The усиления с обратной связью ), β является фактором обратной связи и _ПР является усиление без обратной связи (The усиления разомкнутого контура ). Усиления _ПР является сложной функцией частоты, и с амплитудой и фазой. ^{[примечание 1]} Исследование этого соотношения показывает возможность бесконечного усиления (интерпретируемого как нестабильность), если произведение β A _OL = -1. (То есть величина β A _OL равна единице, а его фаза - -180 °, так называемый критерий устойчивости Баркгаузена). Графики Боде используются для определения того, насколько усилитель подходит к удовлетворению этого условия.

Ключом к этому определению являются две частоты. Первая, обозначенная здесь как f ₁₈₀ , - это частота, на которой коэффициент усиления разомкнутого контура меняет знак. Вторая, обозначенная здесь f _{0 дБ} , - это частота, при которой величина произведения | β A _OL | = 1 (в дБ, величина 1 равна 0 дБ). То есть частота f ₁₈₀ определяется условием:

${\displaystyle \beta A_{\mathrm {OL} }\left(f_{180}\right)=-|\beta A_{\mathrm {OL} }\left(f_{180}\right)|=-|\beta A_{\mathrm {OL} }|_{180}\;,}$

где вертикальные полосы обозначают величину комплексного числа (например, ), а частота f _{0 дБ} определяется условием:${\displaystyle |a+\mathrm {j} b|=\left[a^{2}+b^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle |\beta A_{\mathrm {OL} }\left(f_{\mathrm {0dB} }\right)|=1\;.}$

Одним из показателей близости к нестабильности является запас прочности . График фазы Боде определяет частоту, на которой фаза β A _OL достигает -180 °, обозначенную здесь как частота f ₁₈₀ . Используя эту частоту, график величины Боде находит величину β A _OL . Если | β A _OL | ₁₈₀ = 1, усилитель нестабилен, как уже было сказано. Если A _OL | ₁₈₀ <1, нестабильность не возникает, и разделение в дБ величины | β A _OL | ₁₈₀ из | β A _OL | = 1 называется запасом по усилению. Поскольку величина одного составляет 0 дБ, запас усиления просто одна из эквивалентных форм: .${\displaystyle 20\log _{10}(|\beta A_{\mathrm {OL} }|_{180})=20\log _{10}(|A_{\mathrm {OL} }|)-20\log _{10}(\beta ^{-1})}$

Другой эквивалентной мерой близости к нестабильности является запас по фазе . График величины Боде определяет частоту, на которой величина | β A _OL | достигает единицы, обозначенной здесь как частота f _{0 дБ} . Используя эту частоту, фазовый график Боде находит фазу β A _OL . Если фаза β A _OL ( f _{0 дБ} )> -180 °, условие нестабильности не может быть выполнено ни на какой частоте (потому что ее величина будет <1, когда f = f ₁₈₀ ), а расстояние фазы при f _{0 дБ} в градусах выше -180 ° называется запасом по фазе .

Если достаточно простого ответа «да» или « нет» по вопросу стабильности, усилитель будет стабильным, если f _{0 дБ} < f ₁₈₀ . Этого критерия достаточно для предсказания стабильности только для усилителей, удовлетворяющих некоторым ограничениям на их полюсное и нулевое положения ( системы с минимальной фазой ). Хотя эти ограничения обычно соблюдаются, в противном случае следует использовать другой метод, например, график Найквиста . ^{[6] [7]} Оптимальные запасы по усилению и фазе могут быть вычислены с использованием теории интерполяции Неванлинны – Пика . ^[8]

Примеры с использованием графиков Боде [ править ]

На рисунках 6 и 7 показаны характеристики усиления и терминология. Для трехфазного усилителя, Рисунок 6 сравнивает Боде участок для усиления без обратной связи (далее разомкнутой усиления) A _OL с коэффициентом усиления с обратной связью A _FB (The замкнутого контура усиления). См. Дополнительную информацию в усилителе отрицательной обратной связи .

В этом примере A _OL = 100 дБ на низких частотах и ​​1 / β = 58 дБ. На низких частотах также A _FB ≈ 58 дБ.

Поскольку показано усиление A _OL без обратной связи, а не произведение β A _OL , условие A _OL = 1 / β определяет f _{0 дБ} . Коэффициент усиления обратной связи на низких частотах и ​​для большого A _OL составляет A _FB ≈ 1 / β (см. Формулу для коэффициента усиления обратной связи в начале этого раздела для случая большого усиления A _OL ), поэтому эквивалентный способ найти f _{0 дБ} показывает, где коэффициент усиления обратной связи пересекает коэффициент усиления без обратной связи. (Частота f _{0 дБ} понадобится позже, чтобы найти запас по фазе.)

Вблизи этого кроссовера двух коэффициентов усиления при f _{0 дБ} критерии Баркгаузена в этом примере почти удовлетворяются, и усилитель с обратной связью демонстрирует массивный пик усиления (он был бы бесконечным, если бы β A _OL = -1). За пределами частоты единичного усиления f _{0 дБ} коэффициент усиления без обратной связи достаточно мал, чтобы A _FB ≈ A _OL (рассмотрите формулу в начале этого раздела для случая малого A _OL ).

На рисунке 7 показано соответствующее сравнение фаз: фаза усилителя обратной связи почти равна нулю до частоты f _180, где коэффициент усиления без обратной связи имеет фазу -180 °. В этом месте фаза усилителя с обратной связью резко падает вниз и становится почти такой же, как фаза усилителя с разомкнутым контуром. (Напомним, A _FB ≈ A _OL для малого A _OL .)

Сравнивая отмеченные точки на рисунке 6 и рисунке 7, видно, что частота единичного усиления f _{0 дБ} и частота переворота фазы f ₁₈₀ в этом усилителе почти одинаковы, f ₁₈₀ ≈ f _{0 дБ} ≈ 3,332 кГц, что означает запасы по усилению и по фазе почти равны нулю. Усилитель на грани стабильности.

На рисунках 8 и 9 показаны запас по усилению и по фазе для разной величины обратной связи β. Коэффициент обратной связи выбран меньшим, чем на рис. 6 или 7, перемещая условие | β A _OL | = 1 для более низкой частоты. В этом примере 1 / β = 77 дБ, а на низких частотах A _FB ≈ 77 дБ.

На рисунке 8 показан график усиления. На рисунке 8, пересечение 1 / β и _ПР происходит при е _{0 дБ} = 1 кГц. Обратите внимание, что пик усиления A _FB около f _{0 дБ} почти исчез. ^{[примечание 2] [9]}

Рисунок 9 - это фазовый график. Используя значение f _{0 дБ} = 1 кГц, найденное выше из графика амплитуд на Рисунке 8, фаза разомкнутого контура при f _{0 дБ} составляет -135 °, что представляет собой запас по фазе на 45 ° выше -180 °.

Используя рисунок 9, для фазы -180 ° значение f ₁₈₀ = 3,332 кГц (конечно же, тот же результат, что и ранее ^{[примечание 3]} ). Коэффициент усиления без обратной связи из рисунка 8 при f ₁₈₀ составляет 58 дБ, а 1 / β = 77 дБ, поэтому запас по усилению составляет 19 дБ.

Стабильность - не единственный критерий отклика усилителя, и во многих приложениях более строгие требования, чем стабильность, являются хорошей переходной характеристикой . Как показывает практический опыт , для хорошей переходной характеристики требуется запас по фазе не менее 45 °, и часто рекомендуется запас более 70 °, особенно в тех случаях, когда колебания компонентов из-за производственных допусков являются проблемой. ^[9] См. Также обсуждение запаса по фазе в статье о переходных характеристиках .

• Примеры
• Рисунок 6: Коэффициент усиления усилителя обратной связи A _FB в дБ и соответствующего усилителя без обратной связи A _OL . Параметр 1 / β = 58 дБ, а также на низких частотах A _FB ≈ 58 дБ. Запас усиления в этом усилителе почти равен нулю, потому что | β A _OL | = 1 возникает при почти f = f _{180 °} .

• Рисунок 7: Фаза усилителя обратной связи ° A _FB в градусах и соответствующего усилителя без обратной связи ° A _OL . Запас по фазе в этом усилителе почти равен нулю, поскольку переворот фазы происходит почти на частоте единичного усиления f = f _{0 дБ,} где | β A _OL | = 1.

• Рисунок 8: Коэффициент усиления усилителя обратной связи A _FB в дБ и соответствующего усилителя без обратной связи A _OL . В этом примере 1 / β = 77 дБ. Запас усиления в этом усилителе составляет 19 дБ.

• Рисунок 9: Фаза усилителя обратной связи A _FB в градусах и соответствующего усилителя без обратной связи A _OL . Запас по фазе в этом усилителе составляет 45 °.

Плоттер Боде [ править ]

Плоттер Боде - это электронный прибор, напоминающий осциллограф , который строит диаграмму Боде или график коэффициента усиления напряжения или фазового сдвига схемы в зависимости от частоты в системе управления с обратной связью или фильтре. Пример этого показан на рисунке 10. Он чрезвычайно полезен для анализа и тестирования фильтров и стабильности систем управления с обратной связью посредством измерения угловых (срезающих) частот, а также запаса по усилению и фазе.

Это идентично функции, выполняемой векторным анализатором цепей , но анализатор цепей обычно используется на гораздо более высоких частотах.

В образовательных / исследовательских целях построение диаграмм Боде для заданных передаточных функций способствует лучшему пониманию и получению более быстрых результатов (см. Внешние ссылки).

Связанные сюжеты [ править ]

Две связанных участков , которые отображают одни и те же данные в различных системах координат являются сюжетом Найквист и сюжет Николса . Это параметрические графики с частотой на входе и величиной и фазой частотной характеристики на выходе. График Найквиста отображает их в полярных координатах с отображением величины в радиус и фазу в аргумент (угол). График Николса отображает их в прямоугольных координатах в логарифмической шкале .

• Афчй .

• Николс сюжет одного и того же ответа.

Приложение [ править ]

Доказательство связи с частотной характеристикой [ править ]

В этом разделе показано, что частотная характеристика определяется величиной и фазой передаточной функции в уравнениях ( 1 ) - ( 2 ).

Немного изменив требования к уравнениям ( 1 ) - ( 2 ), предполагается, что вход был применен, начиная с момента времени, и рассчитывается выход в пределе . В этом случае на выходе получается свертка${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t\to \infty }$

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}h(\tau )u(t-\tau )d\tau \;,}$

входного сигнала с обратным преобразованием Лапласа передаточной функции . Предполагая, что сигнал становится периодическим со средним значением 0 и периодом T через некоторое время, мы можем добавить столько периодов, сколько захотим, к интервалу интеграла${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\int _{0}^{t}h(\tau )u(t-\tau )d\tau \;+\int _{t}^{t+T}h(\tau )u(t-\tau )d\tau \;+...=\int _{0}^{\infty }h(\tau )u(t-\tau )d\tau \;.}$

Таким образом, вставляя синусоидальный входной сигнал, получаем

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\int _{0}^{\infty }h(\tau )\sin \left(\omega (t-\tau )\right)d\tau \;=\int _{0}^{\infty }h(\tau )\mathrm {Im} \left(e^{\mathrm {j} \omega (t-\tau )}\right)d\tau \;.}$

Поскольку это реальная функция, ее можно записать как${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\mathrm {Im} \left\{e^{\mathrm {j} \omega t}\left[\int _{0}^{\infty }h(\tau )e^{-\mathrm {j} \omega \tau }d\tau \ \right]\right\}\;.}$

Термин в скобках - это определение преобразования Лапласа для at . Подставляя определение в форму, получаем выходной сигнал${\displaystyle h}$${\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }$${\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )=|H(\mathrm {j} \omega )|\exp \left(\arg H(\mathrm {j} \omega )\right)}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=|H(\mathrm {j} \omega )|\sin \left(\omega t+\arg \left(H(\mathrm {j} \omega )\right)\right)\;}$

заявлено в уравнениях ( 1 ) - ( 2 ).

См. Также [ править ]

• Обработка аналогового сигнала
• Запас по фазе
• Интеграл чувствительности Боде
• Величина (усиление) Боде - фазовая зависимость
• Электрохимическая импедансная спектроскопия

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по сюжетам Боде .

• Разъяснение сюжетов Боде с фильмами и примерами
• Как рисовать кусочно-асимптотические графики Боде
• Обобщенные правила рисования ( PDF )
• Апплет графика Боде - принимает коэффициенты передаточной функции в качестве входных данных и вычисляет амплитуду и фазовый отклик
• Анализ схем в электрохимии
• Тим Грин: Стабильность операционного усилителя Включает введение в график Боде
• Код Gnuplot для создания графика Боде: шаблон печати DIN-A4 (pdf)
• Функция MATLAB для создания графика Боде системы
• Видео MATLAB Tech Talk, объясняющие графики Боде и показывающие, как их использовать для проектирования элементов управления
• Вставьте полюсы и нули, и этот веб-сайт построит асимптотические и точные графики Боде.
• Функция Mathematica для создания графика Боде