В математике , А Борель отношение эквивалентности на польском пространстве X представляет собой отношение эквивалентности на X , что является борелевским подмножеством X × X (в топологии продукта ).
Формальное определение
Учитывая Борелевские отношения эквивалентности E и F на польских пространств X и Y соответственно, один говорит , что E является Борель приводимым к F , в символах E ≤ B F , тогда и только тогда , когда существует функция Борель
- Θ: X → Y
такое, что для всех x , x '∈ X выполняется
- x E x '⇔ Θ ( x ) F Θ ( x ').
Концептуально, если E сводится к F по Борелю , то E "не сложнее", чем F , и фактор-пространство X / E имеет меньшую или равную "мощность по Борелю", чем Y / F , где "мощность по Борелю" аналогична мощности за исключением ограничения определимости для свидетельствующего отображения.
Теорема Куратовского
Пространство с мерой Х называются стандартным борелевским пространством , если оно Борель-изоморфно борелевского подмножество польского пространства. Теорема Куратовского утверждает, что два стандартных борелевских пространства X и Y борелевско-изоморфны тогда и только тогда, когда | X | = | Y |,
Рекомендации
- Харрингтон, Луизиана; AS Kechris; А. Луво (октябрь 1990 г.). "Дихотомия Глимма – Эффроса для борелевских отношений эквивалентности" . Журнал Американского математического общества . 3 (2): 903–928. DOI : 10.2307 / 1990906 . JSTOR 1990906 .
- Кечрис, Александр С. (1994). Классическая описательная теория множеств . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94374-9. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Сильвер, Джек Х. (1980). «Подсчет числа классов эквивалентности борелевских и коаналитических отношений эквивалентности» . Анналы математической логики . 18 (1): 1-28. DOI : 10.1016 / 0003-4843 (80) 90002-9 .
- Кановей, Владимир ; Борелевские отношения эквивалентности. Структура и классификация. Серия университетских лекций, 44. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. x + 240 с. ISBN 978-0-8218-4453-3