В математике , стандартное борелевское пространство является борелевским пространством связанно с польским пространством . Не считая борелевских пространств дискретных польских пространств, существует только одно стандартное борелевское пространство с точностью до изоморфизма измеримых пространств.
Формальное определение [ править ]
Измеримое пространство ( X , Σ) называется «стандартная Борель» , если существует метрика на X , что делает его полное разъемные метрическое пространство таким образом , что Σ является то борелевская а-алгеброй . [1] Стандартные борелевские пространства обладают рядом полезных свойств, которые не выполняются для общих измеримых пространств.
Свойства [ править ]
- Если ( X , Σ) и ( Y , Τ) стандартные борелевские, то любое биективное измеримое отображение является изоморфизмом (т. Е. Обратное отображение также измеримо). Это следует из теоремы Суслина , поскольку множество одновременно аналитическое и коаналитическое обязательно является борелевским.
- Если ( X , Σ) и ( Y , Τ) - стандартные борелевские пространства, и тогда f измеримо тогда и только тогда, когда f борелевский график .
- Произведение и прямое объединение счетного семейства стандартных борелевских пространств стандартны.
- Каждая полная вероятностная мера на стандартном борелевском пространстве превращает его в стандартное вероятностное пространство .
Теорема Куратовского [ править ]
Теорема . Пусть X - польское пространство , то есть топологическое пространство такое, что существует метрика d на X, которая определяет топологию X и делает X полным сепарабельным метрическим пространством. Тогда X как борелевское пространство изоморфно по Борелю одному из (1) R , (2) Z или (3) конечного пространства. (Этот результат напоминает теорему Махарама .)
Отсюда следует, что стандартное борелевское пространство с точностью до изоморфизма характеризуется своей мощностью [2] и что любое несчетное стандартное борелевское пространство имеет мощность континуума.
Борелевские изоморфизмы на стандартных борелевских пространствах аналогичны гомеоморфизмам на топологических пространствах : оба биективны и замкнуты относительно композиции, а гомеоморфизм и его обратный оба непрерывны , вместо того, чтобы оба измеримы только по Борелю.
Ссылки [ править ]
- ^ Макки, GW (1957): борелевская структура в группах и их двойственных. Пер. Являюсь. Математика. Soc., 85, 134–165.
- ^ Шривастава, SM (1991), Курс на наборах Бореля , Springer Verlag , ISBN 0-387-98412-7
