Braids, Links, and Mapping Class Groups - математическая монография о группах кос и их приложениях в топологии малой размерности . Она была написана Джоан Бирмана ,основе конспектов лекций по Джеймс У. Кэннона , [1] и опубликованной в 1975 году Princeton University Press и университета Токио Press ,как объем 82 серии книг Анналы математики исследований .
Хотя группы кос были введены в 1891 году Адольф Гурвиц и формализованы в 1925 году Артин , [1] это была первая книга , посвященная им. [2] Это было описано как «основополагающая работа» [3], которая «заложила основы для нескольких новых подполей в топологии». [4]
Темы [ править ]
Braids, Links и Mapping Class Groups состоит из пяти глав и приложения. Первая вводная глава определяет группы кос, конфигурационные пространства и использование конфигурационных пространств для определения групп кос на произвольных двумерных многообразиях . Он предлагает решение проблемы слов для кос, вопроса о том, действительно ли два разных вида косичек описывают один и тот же элемент группы. Он также описывает кос группу, группы автоморфизмов из свободных групп и многозарядные проколотых дисков. [5]
В следующих трех главах описываются связи групп кос с тремя различными областями математики. Глава 2 касается приложений к теории узлов с помощью теоремы Александера о том, что каждый узел или зацепление может быть образовано закрытием косы, и дает первое полное доказательство теоремы Маркова об эквивалентности зацеплений, образованных таким образом. Она также включает в себя материал по проблеме сопряженности , [5] важное значения в этой области , потому что сопряженные косы закрыть , чтобы сформировать ту же ссылку, [1] и на «алгебраической задаче линии связи» (не следует путать с алгебраическими ссылками) , В котором необходимо определить , являются ли два ссылки могут быть связаны друг с другом с помощью конечного числа ходов определенного типа, что эквивалентно гомеоморфизму по ссылке комплементов . [2] Глава 3 относится теория представлений , и включает в себя производные Fox и Fox свободного дифференциального исчисления «S, [1] Представление Магнуса свободных групп и GASSNER и представление Бурау групп кос. [5] Глава 4 касается групп классов отображений двумерных многообразий, твистов Дена и теоремы Ликориша о твистах., и плетения, косы закрывались иначе, чем в теореме Александра. [5]
Глава 5 называется «Платформы и ссылки». [1] Он переходит от двумерной топологии к трехмерной топологии и является более умозрительным, касающимся связей между группами кос, трехмерными многообразиями и классификацией связей. Он также включает аналог теоремы Александера для пластин, где количество нитей полученной пластины оказывается определяемым номером моста данного звена. [5] В приложении приводится список из 34 открытых проблем. [1] [5] К тому времени, когда Уилбур Уиттен написал свой обзор в июне 1975 года, некоторые из них уже были решены. [2]
Аудитория и прием [ править ]
Это книга для студентов и профессионалов, изучающих математику, которые, как ожидается, уже знакомы с алгебраической топологией и представлением групп с помощью генераторов и соотносителей . Хотя это не учебник, его можно использовать для семинаров для выпускников. [1]
Рецензент Ли Нойвирт называет книгу «самой читаемой», «хорошей смесью известных результатов по предмету и нового материала». [5] Уиттен описывает ее как «тщательно, умело написанную» и «приятно читать». [2] Вильгельм Магнус считает «замечательным» то, что, охватывая предмет с полной математической строгостью, Бирман сохранил интуитивную привлекательность некоторых из своих ранних работ. [1]
Ссылки [ править ]
- ^ a b c d e f g h Магнус, В. (январь 1976 г.), «Обзор кос, связей и групп классов отображения », Бюллетень Американского математического общества , 82 (1): 42–46, doi : 10.1090 / s0002-9904-1976-13937-7
- ^ a b c d Уиттен, Уилбур, "Обзор кос, связей и групп классов сопоставления ", MathSciNet , MR 0375281
- ^ Гилман, Джейн ; Менаско, Уильям У .; Линь, Сяо-Сун, ред. (2001), Узлы, косы и группы классов отображений - документы, посвященные Джоан С. Бирман: Материалы конференции по топологии низкого уровня в честь 70-летия Джоан С. Бирман, 14-15 марта 1998 г., Колумбийский университет, Нью-Йорк. Йорк, Нью-Йорк , исследования AMS / IP в области продвинутой математики, Американское математическое общество, стр. ix, ISBN 9780821829660
- ^ Сереневи, Аманда Кэтрин (август 2006 г.), Джоан Бирман и топология (PDF) , Математическая ассоциация Америки , получено 2 января 2021 г.
- ^ a b c d e f g Нойвирт, LP, "Обзор кос, связей и групп классов сопоставления ", zbMATH , Zbl 0305.57013
