Теорема расслоения

В евклидовой геометрии теорема о расслоении - это утверждение о шести окружностях и восьми точках на евклидовой плоскости. В общей геометрии падения это аналогичное свойство, которому может удовлетворять или не удовлетворять плоскость Мёбиуса . Согласно теореме Кана, это выполняется только «овоидальными» плоскостями Мебиуса; таким образом, это аналог для плоскостей Мёбиуса теоремы Дезарга для проективных плоскостей .

Свойство теоремы о расслоении состоит в том, что красный пунктирный цикл существует.

Теорема о расслоении. Если для восьми различных точек пять из шести четверок совпадают (содержатся в цикле) по крайней мере на четырех циклах , то шестая четверка также является концикличной. ^[1]${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, A_ {4}, B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, B_ {4}}$${\ displaystyle Q_ {ij}: = \ {A_ {i}, B_ {i}, A_ {j}, B_ {j} \}, \ i <j,}$${\ displaystyle c_ {ij}}$

Не следует путать теорему о расслоении с теоремой Микеля .

Овоидальная плоскость Мебиуса в реальном евклидовом пространстве может рассматриваться как геометрия плоских секций яйцеобразной поверхности, такой как сфера, или эллипсоид, или полусфера, приклеенная к подходящей половине эллипсоида, или поверхности с уравнением , и т. д. Если яйцеобразная поверхность является сферой, получается пространственная модель классической реальной плоскости Мёбиуса , которая является «геометрией круга» на сфере.${\ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} = 1}$

Существенным свойством овоидальной плоскости Мебиуса является существование модели пространства через овоид. Яйцевидной в 3-мерном проективном пространстве представляет собой набор точек, что а) пересекается линиями в 0, 1 или 2 балла и б) его касательным в произвольной точке покрывает плоскость (касательной плоскости). Геометрия овоида в проективном 3-пространстве - это плоскость Мёбиуса, называемая овоидальной плоскостью Мёбиуса . Набор точек геометрии состоит из точек овоида, а кривые («циклы») являются плоскими сечениями овоида. Подходящая стереографическая проекция показывает, что для любой овоидальной плоскости Мебиуса существует модель плоскости. ^[2]В классическом случае плоская модель - это геометрия кругов и линий (где каждая линия завершается бесконечно удаленной точкой). Теорема о расслоении имеет плоскую и пространственную интерпретацию. В планарной модели могут быть задействованы линии. Доказательство теоремы о расслоении проводится в рамках пространственной модели.

Теорема. Теорема о расслоении верна в любой овоидальной плоскости Мебиуса.

Доказательство является следствием следующих соображений, в которых существенно используется тот факт, что три плоскости в трехмерном проективном пространстве пересекаются в одной точке:

1. Плоскости, содержащие циклы, пересекаются в точке . Отсюда точка пересечения прямых (в пространстве!) .${\ displaystyle c_ {23}, c_ {34}, c_ {24}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle A_ {2} B_ {2}, \ A_ {4} B_ {4}}$
2. Плоскости, содержащие циклы, пересекаются в точке . Отсюда и точка пересечения линий .${\ displaystyle c_ {12}, c_ {14}, c_ {24}}$${\ displaystyle P '}$${\ displaystyle P '}$${\ Displaystyle A_ {2} B_ {2}, \ A_ {4} B_ {4}}$

Это дает: а) и б) также пересекаются в точке . Последнее утверждение означает: параллельны. У задействованных самолетов есть общая точка - они являются элементами связки самолетов.${\ Displaystyle P = P '}$${\ Displaystyle A_ {1} B_ {1}, \ A_ {3} B_ {3}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle A_ {1}, B_ {1}, A_ {3}, B_ {3}}$${\ displaystyle P}$

Джефф Кан показал важность теоремы о расслоении .

Теорема Кана. Плоскость Мебиуса овоидальна тогда и только тогда, когда она удовлетворяет теореме о расслоении. ^[3]

Теорема о расслоении аналогична теореме Мёбиуса для плоскостей Мёбиуса теореме Дезарга для проективных плоскостей . Из теоремы о расслоении следует существование а) тела ( тела ) и б) овоида . Если верна более строгая теорема Микеля, то тело даже коммутативно (поле), а овоид - квадрика .

Есть плоскости Мебиуса, которые не имеют овоидной формы. ^[4]

Для овоидальных плоскостей Лагерра существует теорема о расслоении с аналогичным смыслом. ^[5]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Хартманн, Эрих. Плоские окружности, введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского. (PDF; 891 kB) Математический факультет Дармштадтского технологического университета
• Кан, Джефф. Инверсивные плоскости, удовлетворяющие теореме о расслоении . Журнал комбинаторной теории, серия A, том 29, выпуск 1, стр. 1-19, июль 1980 г. doi: 10.1016 / 0097-3165 (80) 90043-6

Дальнейшее чтение [ править ]

• W. Benz, Vorlesungen über Geometrie der Algebren , Springer (1973)
• П. Дембовски, Конечные геометрии , Springer-Verlag (1968) ISBN  3-540-61786-8 , стр. 256