В проективной геометрии , теорема Дезарга , названная в честь Дезарг , гласит:
- Два треугольника находятся в перспективе в осевом направлении тогда и только тогда, когда они находятся в перспективе в центре .
Обозначим через три вершины одного треугольника с в , б и с , и тех , с другой стороны A , B и C . Осевая перспективность означает, что прямые ab и AB встречаются в одной точке, прямые ac и AC встречаются во второй точке, а прямые bc и BC встречаются в третьей точке, и что все эти три точки лежат на общей линии, называемой осью перспективности. . Центральная перспективность означает, что три линии Aa , Bb и Cc параллельны в точке, называемой центром перспективности .
Эта теорема о пересечении верна в обычной евклидовой плоскости, но в исключительных случаях нужно проявлять особую осторожность, например, когда пара сторон параллельна, так что их «точка пересечения» уходит в бесконечность. Обычно, чтобы удалить эти исключения, математики «завершают» евклидову плоскость, добавляя точки на бесконечности, следуя Жан-Виктору Понселе . Это приводит к проективной плоскости .
Теорема Дезарга верна для вещественной проективной плоскости , для любого проективного пространства , определенного арифметически из поля или разделения кольца , для любого проективного пространства размерности, кроме двух, и для любого проективного пространства , в котором Папп это теорема имеет место. Однако есть много областей, в которых теорема Дезарга неверна.
История
Дезарг никогда не опубликовал эту теорему, но она появилась в приложении под названием универсального метод М. Desargues по использованию Perspective ( manière Universelle де М. Дезарг налить practiquer ли перспективу ) в практическую книгу по использованию перспективы , опубликованное в 1648 г. [1] по его друг и ученик Авраам Боссе (1602–1676). [2]
Проективные и аффинные пространства
В аффинном пространстве, таком как евклидова плоскость, подобное утверждение верно, но только если вы перечисляете различные исключения, связанные с параллельными линиями. Теорема Дезарга, таким образом, является одной из простейших геометрических теорем, естественным домом которой является проективное, а не аффинное пространство.
Самодуальность
По определению, два треугольника являются перспективными тогда и только тогда, когда они находятся в перспективе по центру (или, что эквивалентно согласно этой теореме, в перспективе по оси). Обратите внимание, что перспективные треугольники не обязательно должны быть похожими .
При стандартной двойственности плоской проективной геометрии (где точки соответствуют линиям, а коллинеарность точек соответствует параллельности линий) утверждение теоремы Дезарга является самодвойственным: [3] осевая перспективность переводится в центральную перспективу и наоборот. Конфигурация Дезарга (ниже) является самодвойственной конфигурацией. [4]
Доказательство теоремы Дезарга.
Теорема Дезарга верна для проективного пространства любой размерности над любым полем или телом, а также верна для абстрактных проективных пространств размерности не менее 3. В размерности 2 плоскости, для которых она верна, называются дезарговыми плоскостями и аналогичны плоскостям, которые можно задать координаты над телом. Есть также много недезарговских плоскостей, на которых теорема Дезарга не выполняется.
Трехмерное доказательство
Теорема Дезарга верна для любого проективного пространства размерности не менее 3 и, в более общем плане, для любого проективного пространства, которое может быть вложено в пространство размерности не менее 3.
Теорема Дезарга может быть сформулирована следующим образом:
- Если линии Aa , Bb и Cc совпадают (пересекаются в точке), то
- точки AB ∩ ab , AC ∩ ac и BC ∩ bc лежат на одной прямой .
Точки A , B , a и b компланарны (лежат в одной плоскости) из-за предполагаемого параллелизма Aa и Bb . Следовательно, прямые AB и ab принадлежат одной плоскости и должны пересекаться. Далее, если два треугольника лежат на разных плоскостях, то точка AB ∩ ab принадлежит обеим плоскостям. По симметричному рассуждению точки AC ∩ ac и BC ∩ bc также существуют и принадлежат плоскостям обоих треугольников. Поскольку эти две плоскости пересекаются более чем в одной точке, их пересечение представляет собой линию, содержащую все три точки.
Это доказывает теорему Дезарга, если два треугольника не лежат в одной плоскости. Если они находятся в одной плоскости, теорему Дезарга можно доказать, выбрав точку не в плоскости, используя это, чтобы поднять треугольники из плоскости, чтобы приведенный выше аргумент работал, а затем спроецировав обратно в плоскость. Последний шаг доказательства не выполняется, если размерность проективного пространства меньше 3, поскольку в этом случае невозможно найти точку не на плоскости.
Теорема Монжа также утверждает, что три точки лежат на прямой, и имеет доказательство, использующее ту же идею рассмотрения ее в трех, а не в двух измерениях и записи линии как пересечения двух плоскостей.
Двумерное доказательство
Поскольку существуют недезарговы проективные плоскости, в которых теорема Дезарга неверна, [5] необходимо выполнить некоторые дополнительные условия, чтобы ее доказать. Эти условия обычно принимают форму предположения о существовании достаточно большого количества коллинеаций определенного типа, что, в свою очередь, приводит к показу, что лежащая в основе алгебраическая система координат должна быть телом (телом). [6]
Связь с теоремой Паппа
Теорема Паппа о шестиугольнике утверждает, что если шестиугольник AbCaBc нарисован таким образом, что вершины a , b и c лежат на одной прямой, а вершины A , B и C лежат на второй линии, то каждые две противоположные стороны шестиугольника лежат на одной прямой. две прямые, которые встречаются в точке, и три точки, построенные таким образом, лежат на одной прямой. Плоскость, на которой теорема Паппа универсально верна, называется папповой . Хессенберг (1905) [7] показал, что теорему Дезарга можно вывести из трех приложений теоремы Паппа. [8]
Обратное этот результат не соответствует действительности, то есть, не все дезарговы самолеты Pappian. Универсальное удовлетворение теоремы Паппа эквивалентно коммутативности лежащей в основе системы координат . Плоскость, определенная над некоммутативным телом (телом, не являющимся полем), поэтому будет дезарговой, но не папской. Однако из-за маленькой теоремы Веддерберна , которая утверждает, что все конечные тела являются полями, все конечные дезарговы плоскости являются папповыми. Нет никакого известного полностью геометрического доказательства этого факта, хотя Bamberg & Penttila (2015) дает доказательство, использующее только «элементарные» алгебраические факты (а не всю силу маленькой теоремы Веддерберна).
Конфигурация Дезарга
Десять прямых, участвующих в теореме Дезарга (шесть сторон треугольников, три прямые Aa , Bb и Cc и ось перспективности), и десять задействованных точек (шесть вершин, три точки пересечения на оси перспективности и центр перспективы) расположены так, что каждая из десяти линий проходит через три из десяти точек, а каждая из десяти точек лежит на трех из десяти линий. Эти десять точек и десять линий составляют конфигурацию Дезарга , пример проективной конфигурации . Хотя теорема Дезарга выбирает разные роли для этих десяти линий и точек, сама конфигурация Дезарга более симметрична : любая из десяти точек может быть выбрана в качестве центра перспективы, и этот выбор определяет, какие шесть точек будут вершинами треугольников и какая линия будет осью перспективности.
Маленькая теорема Дезарга
Эта ограниченная версия гласит, что если два треугольника являются перспективными из точки на данной линии, и две пары соответствующих сторон также пересекаются на этой линии, то третья пара соответствующих сторон также пересекается на этой линии. Таким образом, теорема Дезарга специализируется только на тех случаях, когда центр перспективности лежит на оси перспективности.
Муфангова плоскость проективная плоскость , в которой мало Дезаргах теорема справедлива для каждой строки.
Смотрите также
Заметки
- ^ Смит (1959 , стр.307)
- ↑ Кац (1998 , с. 461)
- ^ Это связано с современным способом написания теоремы. Исторически сложилось так, что теорема читалась только так: «В проективном пространстве пара треугольников с центральной перспективой является аксиальной перспективой», и двойственное утверждение этого утверждения называлось обратной теоремой Дезарга и всегда упоминалось под этим именем. См. ( Coxeter 1964 , стр.19).
- ^ ( Coxeter 1964 ) стр. 26–27.
- ↑ Самые маленькие примеры из них можно найти в Room & Kirkpatrick 1971 .
- ^ ( Альберт и Сэндлер, 1968 ) , ( Хьюз и Пайпер, 1973 ) и ( Стивенсон, 1972 ).
- ^ Согласно ( Дембовски 1968 , стр. 159, сноска 1), первоначальное доказательство Хессенберга не является полным; он проигнорировал возможность того, что в конфигурации Дезарга могли произойти некоторые дополнительные инциденты. Полное доказательство обеспечивается Cronheim 1953 .
- Перейти ↑ Coxeter 1969 , p. 238, раздел 14.3
Рекомендации
- Альберт, А. Адриан; Сандлер, Рубен (2015) [1968], Введение в конечные проективные плоскости , Довер, ISBN 978-0-486-78994-1
- Бамберг, Джон; Пенттила, Тим (2015), «Завершение доказательства Сегре малой теоремы Веддерберна» , Бюллетень Лондонского математического общества , 47 (3): 483–492, doi : 10.1112 / blms / bdv021
- Касс, Рей (2006), Проективная геометрия: Введение , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN 0-19-929886-6
- Кокстер, HSM (1964), проективная геометрия , Блейсделл
- Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-50458-0, Руководство по ремонту 0123930
- Cronheim, Arno (1953), "Доказательство теоремы Хессенберга в", Труды Американского математического общества , 4 (2): 219-221, DOI : 10,2307 / 2031794 , JSTOR 2031794 , MR 0053531
- Дембовски, Питер (1968), Конечная геометрия , Springer Verlag, ISBN 978-3-540-61786-0
- Хессенбергова, Герхард (1905), "Beweis де Desarguesschen Satzes AUS DEM Pascalschen", Mathematische Annalen , Спрингер, 61 (2): 161-172, DOI : 10.1007 / BF01457558 , ISSN 1432-1807
- Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Челси, стр. 119–128, ISBN 0-8284-1087-9
- Хьюз, Дэн; Пайпер, Фред (1973), Проективные плоскости , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Kárteszi, Ferenc (1976), Введение в конечную геометрию , Северная Голландия, ISBN 0-7204-2832-7
- Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: Введение (2-е изд.), Чтение, Массачусетс: Аддисон Уэсли Лонгман, ISBN 0-321-01618-1
- Памбуччиан, Виктор; Шахт, Селия (2019), «Аксиоматическая судьба теорем Паппа и Дезарга», в Dani, SG; Пападопулос А. (ред.), Геометрия в истории , Springer, стр. 355–399, ISBN 978-3-030-13611-6
- Комната, Томас Г .; Киркпатрик, ПБ (1971), Миникватернионная геометрия , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-07926-8
- Смит, Дэвид Юджин (1959), Справочник по математике , Дувр, ISBN 0-486-64690-4
- Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проективные плоскости , WH Freeman, ISBN 0-7167-0443-9
- Войцеховский М.И. (2001) [1994], "Предположение Дезарга" , Энциклопедия математики , EMS Press
Внешние ссылки
- Теорема Дезарга в MathWorld
- Дезарг теорема в вырезе в-узле
- Monge via Desargues на распутье
- Доказательство теоремы Дезарга в PlanetMath
- Теорема Дезарга в эскизах динамической геометрии