В математике недезарговская плоскость - это проективная плоскость , которая не удовлетворяет теореме Дезарга (названной в честь Жирара Дезарга ), или, другими словами, плоскость, которая не является дезарговой . Теорема Дезарга верна во всех проективных пространствах размерности, отличной от 2; [1] другими словами, единственными проективными пространствами размерности, не равной 2, являются классические проективные геометрии над полем (или телом ). Однако Дэвид Гильберт обнаружил, что некоторые проективные плоскости ему не удовлетворяют. [2] [3]Текущее состояние изучения этих примеров не является полным. [4]
Примеры
Есть много примеров как конечных, так и бесконечных недезарговских плоскостей. Некоторые из известных примеров бесконечных недезарговских плоскостей включают:
- Мултон самолет .
- Плоскости Муфанг над альтернативными телами, которые не являются ассоциативными, например проективная плоскость над октонионами . Поскольку все конечные альтернативные тела являются полями ( теорема Артина – Цорна ), единственные недезарговы плоскости Муфанг бесконечны.
Что касается конечных недезарговских плоскостей, каждая проективная плоскость порядка не выше 8 является дезарговой, но есть три недезарговских примера порядка 9, каждая из которых имеет 91 точку и 91 прямую. [5] Это:
- Hughes плоскости порядка 9.
- Зал плоскость порядка 9. Первоначально обнаружено Веблен и Wedderburn , этот самолет был обобщен бесконечным семейство плоскостей по Маршаллу Холл . Самолеты Холла являются подклассом более общих самолетов Андре .
- Двойной Холл плоскости порядка 9.
Известно множество других конструкций как конечных, так и бесконечных недезарговских плоскостей, см., Например, Dembowski (1968) . Все известные конструкции конечных недезарговых плоскостей производят плоскости, порядок которых является собственной степенью простого числа, то есть целым числом вида p e , где p - простое число, а e - целое число больше 1.
Классификация
Ханфрид Ленц дал схему классификации проективных плоскостей в 1954 г. [6], и она была усовершенствована Адриано Барлотти в 1957 г. [7] Эта схема классификации основана на типах транзитивности точка – прямая, разрешенных группой коллинеаций плоскости, и является известная как классификация проективных плоскостей Ленца – Барлотти . Список из 53 типов приведен в Dembowski (1968 , стр.124–5), а таблица известных на тот момент результатов существования (как для групп коллинеаций, так и для плоскостей, имеющих такую группу коллинеаций) как в конечном, так и в бесконечном случаях, представлена на странице 126. По состоянию на 2007 год «36 из них существуют как конечные группы. От 7 до 12 существуют как конечные проективные плоскости, а 14 или 15 существуют как бесконечные проективные плоскости». [4]
Существуют и другие схемы классификации. Один из простейших основан на типе плоского тройного кольца (PTR), которое можно использовать для координации проективной плоскости. Типами являются поля , тела , альтернативные тела , полуполя , почти поля , правые почти поля , квазитела и правые квазитела . [8]
Коники и овалы
В дезарговой проективной плоскости конику можно определить несколькими различными способами, эквивалентность которых может быть доказана. В недезарговских планах эти доказательства больше не действительны, и различные определения могут привести к появлению неэквивалентных объектов. [9] Теодор Г. Остром предложил название коникоид для этих конических фигур, но не дал формального определения, и этот термин, похоже, не получил широкого распространения. [10]
Есть несколько способов, которыми коники могут быть определены в дезарговских плоскостях:
- Набор абсолютных точек полярности известен как коника фон Штаудта . Если плоскость определена над полем из характеристики два, только вырожденные коники получены.
- Множество точек пересечения соответствующих прямых двух пучков, которые связаны проективно, но не перспективно, известно как коника Штейнера . Если карандаши перспективно связаны, коника вырождена.
- Множество точек, координаты которых удовлетворяют неприводимому однородному уравнению второй степени.
Кроме того, в конечной дезарговской плоскости:
- Набор из q + 1 точек, без трех коллинеарных в PG (2, q ), называется овалом . Если q нечетно, по теореме Сегре овал в PG (2, q ) является коникой в смысле 3 выше.
- Острая коническая основан на обобщении гармонических множеств.
Арци привел пример коники Штейнера на плоскости Муфанга, которая не является коникой фон Штаудта. [11] Гарнер приводит пример коники фон Штаудта, которая не является коникой Острома в конечной полуполевой плоскости. [9]
Заметки
- ^ Теорема Дезарга бессмысленно верна в размерности 1; это проблематично только в измерении 2.
- ↑ Hilbert, David (1950) [впервые опубликовано в 1902 году], The Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie] (PDF) , английский перевод Э. Дж. Таунсенда (2-е изд.), La Salle, IL: Open Court Publishing, p. 48
- ^ Гильберт, Дэвид (1990) [1971], « Основы геометрии» [Grundlagen der Geometrie] , переведенный Лео Унгером из 10-го немецкого издания (2-е английское издание), La Salle, IL: Open Court Publishing, p. 74, ISBN 0-87548-164-7. Согласно сноске на этой странице, исходный «первый» пример, появившийся в более ранних выпусках, был заменен более простым примером Моултона в более поздних выпусках.
- ^ a b Weibel 2007 , стр. 1296
- ^ см. Room & Kirkpatrick 1971 для описания всех четырех самолетов порядка 9.
- ^ Ленц, Ханфрид (1954). "Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat в projektiven Ebenen". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 57 : 20–31. Руководство по ремонту 0061844 .
- ^ Барлотти, Адриано (1957). «Возможна конфигурация системы для рисованной музыки (A, a) для рисованной фортепианной графики (A, a) -transitivo». Болл. ООН. Мат. Ital . 12 : 212–226. Руководство по ремонту 0089435 .
- ^ Colbourn & Диниц 2007 , стр. 723 статья Лео Сторма о конечной геометрии.
- ^ а б Гарнер, Кирилл Ш Л. (1979), "Коники в конечных проективных плоскостей", журнал геометрии , 12 (2): 132-138, DOI : 10.1007 / bf01918221 , МР 0525253
- ^ Остром, Т.Г. (1981), «Коникоиды: конические фигуры в не-папповых плоскостях», у Плаумана, Питер; Strambach, Karl (eds.), Geometry - von Staudt's Point of View , D. Reidel, pp. 175–196, ISBN. 90-277-1283-2, Руководство по ремонту 0621316
- ^ Artzy, Р. (1971), "конического у = х 2 в луп Planes", Aequationes Mathematicae , 6 : 30-35, DOI : 10.1007 / bf01833234
Рекомендации
- Альберт, А. Адриан; Сандлер, Рубен (1968), Введение в конечные проективные плоскости , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон
- Колборн, Чарльз Дж .; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник по комбинаторным схемам (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-506-8
- Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , Берлин: Springer Verlag
- Холл, Маршалл (1943), "Проективные плоскости", Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 54 (2): 229-277, DOI : 10,2307 / 1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990331 , MR 0008892
- Хьюз, Дэниел Р .; Пайпер, Фред К. (1973), Проективные плоскости , Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Kárteszi, F. (1976), Введение в конечную геометрию , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 0-7204-2832-7
- Люнебург, Хайнц (1980), Самолеты перевода , Берлин: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
- Комната, ТГ; Киркпатрик, ПБ (1971), Миникватернионная геометрия , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-07926-8
- Сидоров, Л.А. (2001) [1994], "Недезаргова геометрия" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проективные самолеты , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
- Вейбель, Чарльз (2007), «Обзор недезарговских плоскостей» , Уведомления AMS , 54 (10): 1294–1303