Квазифилд

В математике квазиполе - это алгебраическая структура, где + и - бинарные операции над Q, что очень похоже на тело с телом , но с некоторыми более слабыми условиями. Все тела и, следовательно, все поля являются квазителами.${\ Displaystyle (Q, +, \ cdot)}$${\ displaystyle \ cdot}$

Определение [ править ]

Квазиполе - это структура, где + и - бинарные операции над Q, удовлетворяющие этим аксиомам:${\ Displaystyle (Q, +, \ cdot)}$${\ Displaystyle \ cdot \,}$

• ${\ Displaystyle (Q, +) \,}$это группа
• ${\ displaystyle (Q_ {0}, \ cdot)}$это петля , где${\ Displaystyle Q_ {0} = Q \ setminus \ {0 \} \,}$
• ${\ displaystyle a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c \ quad \ forall a, b, c \ in Q}$(левая дистрибутивность )
• ${\ Displaystyle а \ cdot x = b \ cdot x + c}$ имеет ровно одно решение ${\ displaystyle \ forall a, b, c \ in Q, a \ neq b}$

Строго говоря, это определение левого квазиполя. Право квазиполь Аналогично определяется, но удовлетворяет правую дистрибутивность вместо этого. Квазитело, удовлетворяющее обоим законам распределения, называется полуполем в том смысле, в котором этот термин используется в проективной геометрии .

Хотя не предполагается, можно доказать , что аксиомы следует , что аддитивная группа является абелевой . Таким образом, говоря об абелевом квазиполе , мы имеем в виду, что оно абелево.${\ displaystyle (Q, +)}$${\ displaystyle (Q_ {0}, \ cdot)}$

Ядро [ править ]

Ядром K квазиполя Q называется множество всех таких элементов c, что:

• ${\ Displaystyle a \ cdot (b \ cdot c) = (a \ cdot b) \ cdot c \ quad \ forall a, b \ in Q}$
• ${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\quad \forall a,b\in Q}$

Ограничивая бинарные операции + и до K, можно показать, что это делительное кольцо .${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle (K,+,\cdot )}$

Теперь можно создать векторное пространство Q над K со следующим скалярным умножением:${\displaystyle v\otimes l=v\cdot l\quad \forall v\in Q,l\in K}$

Поскольку конечное тело является конечным полем по теореме Веддерберна , порядок ядра конечного квазиполя является степенью простого числа . Конструкция векторного пространства подразумевает, что порядок любого конечного квазиполя также должен быть степенью простого числа.

Примеры [ править ]

Все тела и, следовательно, все поля являются квазителами.

Наименьшие квазитела абелевы и уникальны. Это конечные поля порядков до восьми включительно. Наименьшие квазитела, не являющиеся телами, - это четыре неабелевых квазитела девятого порядка; они представлены в работах Hall, Jr. (1959) и Weibel (2007) .

Проективные плоскости [ править ]

Для данного квазиполя мы определяем тернарное отображение как${\displaystyle Q}$${\displaystyle \scriptstyle T\colon Q\times Q\times Q\to Q\,}$

${\displaystyle T(a,b,c)=a\cdot b+c\quad \forall a,b,c\in Q}$

Затем можно проверить, что удовлетворяет аксиомам плоского тернарного кольца . С ним связана соответствующая проективная плоскость . Построенные таким образом проективные плоскости характеризуются следующим образом; подробности этой связи даны в Hall, Jr. (1959) . Проективная плоскость является плоскостью сдвига относительно прямой на бесконечности тогда и только тогда, когда любое (или все) связанные с ней плоские тернарные кольца являются правыми квазителами. Она называется плоскостью сдвига, если любое (или все) ее тернарные кольца являются левыми квазителами.${\displaystyle (Q,T)}$${\displaystyle (Q,T)}$

Плоскость не определяет кольцо однозначно; все 4 неабелевых квазитела порядка 9 являются тернарными кольцами для единственной недезарговской плоскости трансляции порядка 9. Они отличаются фундаментальным четырехугольником, используемым для построения плоскости (см. Weibel 2007).

История [ править ]

Квазитела назывались в литературе «системами Веблена-Веддерберна» до 1975 г., поскольку они были впервые изучены в статье 1907 г. (Веблен-Веддерберн, 1907) О. Вебленом и Дж. Веддерберном . Обзоры квазител и их приложений к проективным плоскостям можно найти в Hall, Jr. (1959) и Weibel (2007) .

Ссылки [ править ]

• Холл-младший, Маршалл (1959), Теория групп , Macmillan, LCCN  59005035 , MR  0103215.
• Веблен, О .; Wedderburn, JHM (1907), "Non-Дезаргово и не Pascalian геометрии" (PDF) , Труды Американского математического общества , 8 (3): 379-388, DOI : 10,2307 / 1988781 , JSTOR  1988781
• Вейбель, Чарльз (2007), «Обзор недезарговских плоскостей» , Уведомления AMS , 54 (10): 1294–1303

См. Также [ править ]

• Ближнее поле
• Полуполе
• Альтернативное делительное кольцо
• Системы холлов (плоскости холлов)
• Самолет Муфанг

Внешние ссылки [ править ]

• Квазитела Хауке Кляйна.