Плоское тройное кольцо

В математике , алгебраическая структура , состоящая из непустого множества и трехкомпонентного отображения может называться тройной системой . Плоский тройная кольцо (ПТР) или трехкомпонентное поле является особым типом трехкомпонентной системы , используемого Hall (1943) , чтобы построить проективные плоскости с помощью координат. Плоское тернарное кольцо не является кольцом в традиционном смысле, но любое поле дает плоское тернарное кольцо, в котором операция определяется следующим образом:${\displaystyle (R,T)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T\colon R^{3}\to R\,}$ harvtxt error: no target: CITEREFHall1943 (help)${\displaystyle T}$${\displaystyle T(a,b,c)=ab+c}$. Таким образом, мы можем рассматривать плоское тернарное кольцо как обобщение поля, в котором тернарная операция заменяет и сложение, и умножение. Фактически, в компьютерной архитектуре эта троичная операция известна, например, как операция умножения с накоплением (MAC).

Терминология сильно различается. Плоские тройные кольца или тройные поля, как они определены здесь, в литературе называются другими именами, и термин «плоское тройное кольцо» может означать вариант системы, определенной здесь. Термин «тройное кольцо» часто означает плоское тройное кольцо, но также может означать просто тройную систему.

Определение [ править ]

Плоская тройная кольцо представляет собой структуру , где представляет собой набор , содержащий по меньшей мере два различных элемента, называемых 0 и 1, и это отображение , которое удовлетворяет эти пять аксиом:${\displaystyle (R,T)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T\colon R^{3}\to R\,}$

1. ${\displaystyle T(a,0,b)=T(0,a,b)=b,\quad \forall a,b\in R}$;
2. ${\displaystyle T(1,a,0)=T(a,1,0)=a,\quad \forall a\in R}$;
3. ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R,a\neq c}$, есть уникальный такой, что :;${\displaystyle x\in R}$${\displaystyle T(x,a,b)=T(x,c,d)\,}$
4. ${\displaystyle \forall a,b,c\in R}$, есть уникальный , такой что ; а также${\displaystyle x\in R}$${\displaystyle T(a,b,x)=c\,}$
5. ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R,a\neq c}$, уравнения имеют единственное решение .${\displaystyle T(a,x,y)=b,T(c,x,y)=d\,}$${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$

Когда конечно, третья и пятая аксиомы эквивалентны при наличии четвертой. ^[1]${\displaystyle R}$

Не может быть найдено никакой другой пары (0 ', 1') в , которая удовлетворяла бы первым двум аксиомам.${\displaystyle R^{2}}$${\displaystyle T}$

Бинарные операции [ править ]

Дополнение [ править ]

Определить . ^[2] Структура представляет собой цикл с единичным элементом 0.${\displaystyle a\oplus b=T(a,1,b)}$${\displaystyle (R,\oplus )}$

Умножение [ править ]

Определить . Множество замкнуто относительно этого умножения. Структура также представляет собой петлю с элементом идентичности 1.${\displaystyle a\otimes b=T(a,b,0)}$${\displaystyle R_{0}=R\setminus \{0\}\,}$${\displaystyle (R_{0},\otimes )}$

Линейный PTR [ править ]

Плоское тройное кольцо называется линейным, если . Например, плоское тройное кольцо, связанное с квазиполем, является (по построению) линейным. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle (R,T)}$${\displaystyle T(a,b,c)=(a\otimes b)\oplus c,\quad \forall a,b,c\in R}$

Связь с проективными плоскостями [ править ]

Координаты проективной плоскости для установления плоского тройного кольца

Для плоского тройного кольца можно построить проективную плоскость с набором точек P и набором прямых L следующим образом: ^{[3] [4]} (Обратите внимание, что это дополнительный символ, которого нет в .)${\displaystyle (R,T)}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle R}$

Позволять

• ${\displaystyle P=\{(a,b)|a,b\in R\}\cup \{(a)|a\in R\}\cup \{(\infty )\}}$, а также
• ${\displaystyle L=\{[a,b]|a,b\in R\}\cup \{[a]|a\in R\}\cup \{[\infty ]\}}$.

Затем определите, , то отношение инцидентности следующим образом:${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle ((a,b),[c,d])\in I\Longleftrightarrow T(a,c,d)=b}$

${\displaystyle ((a,b),[c])\in I\Longleftrightarrow a=c}$

${\displaystyle ((a,b),[\infty ])\notin I}$

${\displaystyle ((a),[c,d])\in I\Longleftrightarrow a=c}$

${\displaystyle ((a),[c])\notin I}$

${\displaystyle ((a),[\infty ])\in I}$

${\displaystyle ((\infty ),[c,d])\notin I}$

${\displaystyle ((\infty ),[a])\in I}$

${\displaystyle ((\infty ),[\infty ])\in I}$

Таким образом можно построить любую проективную плоскость, начиная с подходящего плоского тернарного кольца. Однако два неизоморфных плоских тернарных кольца могут привести к построению изоморфных проективных плоскостей.

И наоборот, для любой проективной плоскости π, выбрав четыре точки, помеченные o , e , u и v , никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно ввести координаты в π так, чтобы эти особые точки получили координаты: o = (0,0), e = (1,1), v = ( ) и u = (0). ^[5] Тернарная операция теперь определена для координатных символов (кроме ) как y = T ( x , a , b ) тогда и только тогда, когда точка ( x , y ) лежит на линии, соединяющей (${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty }$а ) с (0, б ). Аксиомы, определяющие проективную плоскость, используются, чтобы показать, что это дает плоское тройное кольцо.

Линейность PTR эквивалентна геометрическому условию, выполняемому в соответствующей проективной плоскости. ^[6]

Связанные алгебраические структуры [ править ]

PTR, которые удовлетворяют дополнительным алгебраическим условиям, получают другие имена. Эти имена не всегда используются в литературе. Следующий список имен и свойств взят из Dembowski (1968 , стр. 129).

Линейный PTR, аддитивная петля которого ассоциативна (и, следовательно, группа ), называется декартовой группой . В декартовой группе отображения

${\displaystyle x\longrightarrow -x\otimes a+x\otimes b}$, а также${\displaystyle x\longrightarrow a\otimes x-b\otimes x}$

всегда должны быть перестановки . Поскольку декартовы группы - это группы при добавлении, мы возвращаемся к использованию простого «+» для операции добавления.${\displaystyle a\neq b}$

Квазиполь является декартовой группой , удовлетворяющей правого дистрибутивный закона: . Сложение в любом квазиполе коммутативно .${\displaystyle (x+y)\otimes z=x\otimes z+y\otimes z}$

Полуполем является квазиполем которая также удовлетворяет левый дистрибутивный закон:${\displaystyle x\otimes (y+z)=x\otimes y+x\otimes z.}$

Планарное ближнее поле является квазиполем которого мультипликативного цикл ассоциативно (и , следовательно , группа). Не все ближние поля являются плоскими ближними полями.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Альберт, А. Адриан; Сандлер, Рубен (1968). Введение в конечные проективные плоскости . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон.
• Арци, Рафаэль (2008) [1965], «Глава 4 Аксиоматическая плоская геометрия», Linear Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-46627-9
• Бенц, Уолтер; Ghalieh, Khuloud (1998), "Группоиды , связанные с трехкомпонентной кольцом проективной плоскости", журнал геометрии , 61 (1-2): 17-31, DOI : 10.1007 / bf01237490 , S2CID  123135402
• Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR  0233275
• Grari, A. (2004), "Необходимое и достаточное условие, чтобы два плоских тернарных кольца индуцировали изоморфные проективные плоскости", Arch. Математика. (Базель) , 83 (2): 183-192, DOI : 10.1007 / s00013-003-4580-9 , S2CID  122203312
• Холл-младший, Маршалл (1943), "Проективные плоскости", Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 54 (2): 229-277, DOI : 10,2307 / 1990331 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1990331 , MR  0008892
• Холл-младший, Маршалл (1959), Теория групп , Нью-Йорк: The MacMillan Company, MR  0103215
• Хьюз, DR (1955), "Аддитивные и мультипликативные петли плоских трехкомпонентных колец", Труды Американского математического общества , 6 (6): 973-980, DOI : 10,1090 / s0002-9939-1955-0073568-8 , MR  0073568
• Хьюз, Дэниел Р .; Пайпер, Фред К. (1973), Проективные плоскости , Тексты для выпускников по математике (6), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0387900446, Руководство по ремонту  0333959
• Мартин, GE (1967), "Проективные плоскости и изотопные тройные кольца", Американский Математический Месячный , 74 (10): 1185-1195, DOI : 10,2307 / 2315659 , ЛВП : 10338.dmlcz / 101204 , JSTOR  2315659 , MR  0223972
• Пикерт, Гюнтер (1975), Projektive Ebenen , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3540072802
• Стивенсон, Фредерик (1972), Проективные самолеты , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN 071670443-9