В абстрактной алгебре , альтернативная алгебра является алгеброй , в которой не умножение нужно быть ассоциативными , только альтернативой . То есть нужно иметь
для всех x и y в алгебре.
Очевидно, что любая ассоциативная алгебра альтернативна, как и некоторые строго неассоциативные алгебры, такие как октонионы .
Ассоциатор [ править ]
Альтернативные алгебры названы так потому, что они являются алгебрами, для которых ассоциатор является альтернативным . Ассоциатор - это трилинейное отображение, заданное формулой
- .
По определению полилинейное отображение является чередующимся, если оно обращается в нуль, когда два его аргумента равны. Левая и правая альтернативные тождества для алгебры эквивалентны [1]
Оба эти тождества вместе означают, что ассоциатор полностью кососимметричен . То есть,
для любой перестановки σ . Следует, что
для всех x и y . Это эквивалентно гибкому тождеству [2]
Следовательно, ассоциатор альтернативной алгебры является альтернативным. И наоборот, любая алгебра, ассоциатор которой альтернирован, явно альтернативна. По симметрии любая алгебра, удовлетворяющая любым двум из:
- левая альтернативная личность:
- правильная альтернативная идентичность:
- гибкая идентичность:
является альтернативным и, следовательно, удовлетворяет всем трем тождествам.
Альтернативный ассоциатор всегда полностью кососимметричен. Обратное верно до тех пор, пока характеристика основного поля не равна 2.
Примеры [ править ]
- Любая ассоциативная алгебра альтернативна.
- В октонионах образуют неассоциативную альтернативную алгебру, нормированную алгебру с делением размерности 8 над вещественными числами. [3]
- В более общем смысле, любая алгебра октонионов является альтернативной.
Не примеры [ править ]
- В sedenions и всех высших Кэли-Диксона алгебры , проигрывают альтернативность.
Свойства [ править ]
Теорема Артина утверждает, что в альтернативной алгебре подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна . [4] И наоборот, любая алгебра, для которой это верно, явно альтернативна. Отсюда следует, что выражения, содержащие только две переменные, могут быть записаны однозначно без скобок в альтернативной алгебре. Обобщение теоремы Артина утверждает, что всякий раз, когда три элемента в альтернативной алгебре ассоциируются (т. Е. ), Подалгебра, порожденная этими элементами, является ассоциативной.
Следствием теоремы Артина является то, что альтернативные алгебры ассоциативны по степеням , то есть подалгебра, порожденная одним элементом, ассоциативна. [5] Обратное не обязательно: сеансы являются ассоциативными, но не альтернативными.
в любой альтернативной алгебре. [2]
В унитальной альтернативной алгебре мультипликативные инверсии уникальны, когда они существуют. Кроме того, для любого обратимого элемента и все из них имеет
Это эквивалентно тому, что ассоциатор исчезает для всех таких и . Если и обратимы, то также обратимо с обратным . Таким образом, множество всех обратимых элементов замкнуто относительно умножения и образует петлю Муфанг . Эта петля единиц в альтернативном кольце или алгебре аналогична группе единиц в ассоциативном кольце или алгебре.
Теорема Клейнфельда утверждает, что любое простое неассоциативное альтернативное кольцо является обобщенной алгеброй октонионов над своим центром. [6] Структурная теория альтернативных колец представлена в [7]
Приложения [ править ]
Проективная плоскость над любым альтернативным телом является плоскостью Муфанг .
Тесная связь альтернативных алгебр и композиционных алгебр была описана Гаем Русом в 2008 г .: [8] Он показывает (стр. 162) соотношение для алгебры A с единичным элементом e и инволютивным антиавтоморфизмом, таким что a + a * и aa * находятся на линии , натянутую на е для всех а в А . Используйте обозначение n ( a ) = aa *. Тогда, если n - неособое отображение в поле A и Aальтернативна, то ( A, n ) - композиционная алгебра.
См. Также [ править ]
- Алгебра над полем
- Алгебра мальцева
- Кольцо Zorn
Ссылки [ править ]
- ↑ Schafer (1995) стр.27
- ^ a b Schafer (1995) стр.28
- ^ Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия . А.К. Петерс. ISBN 1-56881-134-9. Zbl 1098.17001 .
- ↑ Schafer (1995) стр.29
- ↑ Schafer (1995), стр.30
- ^ Жевлаков, Слинько, Шестаков, Ширшов. (1982) с.151
- ^ Жевлаков, Слинько, Шестаков, Ширшов. (1982)
- ^ Гай Роос (2008) "Исключительные симметрические области", §1: алгебры Кэли, в Симметрии в комплексном анализе Брюса Гиллигана и Гая Рооса, том 468 современной математики , Американское математическое общество
- Шафер, Ричард Д. (1995). Введение в неассоциативные алгебры . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 .
- Жевлаков, К.А.; Слинько AM; Шестаков, ИП; Ширшов А.И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Академическая пресса . ISBN 0-12-779850-1. Руководство по ремонту 0518614 . Zbl 0487.17001 .
Внешние ссылки [ править ]
- Жевлаков, К.А. (2001) [1994], "Альтернативные кольца и алгебры" , Энциклопедия математики , EMS Press