В геометрии , муфангова плоскость , названная Рут лупа , является типом проективной плоскости , более конкретно , это особый типа самолета перевода . Плоскость трансляции - это проективная плоскость, у которой есть линия трансляции , то есть линия со свойством, что группа автоморфизмов, фиксирующая каждую точку прямой, действует транзитивно в точках плоскости, а не на прямой. [1] Плоскость трансляции называется Муфанг, если каждая линия плоскости является линией трансляции. [2]
Характеристики
Плоскость Муфанг также может быть описана как проективная плоскость, в которой выполняется маленькая теорема Дезарга . [3] Эта теорема утверждает, что ограниченная форма теоремы Дезарга верна для любой прямой на плоскости. [4] Каждый дезарговский самолет - это самолет Муфанг. [5]
В алгебраических терминах проективная плоскость над любым альтернативным телом является плоскостью Муфанг [6], и это дает соответствие 1: 1 между классами изоморфизма альтернативных тел и плоскостями Муфанг.
Как следствие алгебраической теоремы Артина – Цорна , что каждое конечное альтернативное тело является полем, каждая конечная плоскость Муфанг дезаргова, но некоторые бесконечные плоскости Муфанг недезарговы . В частности, плоскость Кэли , бесконечная проективная плоскость Муфанг над октонионами , является одной из них, потому что октонионы не образуют тела. [7]
Характеристики
Следующие условия на проективной плоскости P эквивалентны: [8]
- P - самолет Муфанг.
- Группа автоморфизмов, фиксирующих все точки любой данной прямой, действует транзитивно в точках, не лежащих на прямой.
- Некоторое тройное кольцо плоскости является альтернативным делительным кольцом.
- P изоморфна проективной плоскости над альтернативным телом.
Также в самолете Муфанг:
- Группа автоморфизмов действует на четырехугольниках транзитивно. [9] [10]
- Любые два тернарных кольца плоскости изоморфны.
Заметки
- ^ То есть группа действует транзитивно на аффинной плоскости, образованной удалением этой прямой и всех ее точек из проективной плоскости.
- Перейти ↑ Hughes & Piper 1973 , p. 101
- ^ Пикерт 1975 , стр. 186
- ^ Эта ограниченная версия утверждает, что если два треугольника являются перспективными из точки на данной прямой, и две пары соответствующих сторон также пересекаются на этой линии, то третья пара соответствующих сторон также пересекается на этой линии.
- Перейти ↑ Hughes & Piper 1973 , p. 153
- Перейти ↑ Hughes & Piper 1973 , p. 139
- ^ Weibel, Чарльз (2007), "Обзор недезарговой Planes" , Уведомление о AMS , 54 (10): 1294-1303
- ^ Самолеты H. Klein Moufang
- ^ Стивенсон 1972 , стр. 392 Стивенсон называет самолеты Муфанг альтернативными .
- ^ Если транзитив заменен на резко транзитивный, плоскость паппова.
Рекомендации
дальнейшее чтение
- Титс, Жак ; Вайс, Ричард М. (2002), Многоугольники Муфанг , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43714-7, MR 1938841