В математике плоскость Холла - недезаргова проективная плоскость, построенная Маршаллом Холлом-младшим (1943). [1] Есть примеры заказадля каждого простого p и любого положительного целого n при условии. [2]
Алгебраическое построение через системы Холла
Первоначальная конструкция плоскостей Холла была основана на квазиполе Холла (также называемом системой Холла ), H порядкадля p простое число. Создание плоскости из квазиполя следует стандартной конструкции ( подробности см. В квазиполе ).
Чтобы построить квазиполе Холла, начните с поля Галуа ,для p простое число и квадратичный неприводимый многочленнад F . Продлевать, двумерное векторное пространство над F , в квазиполе, задав умножение векторов на когда а также иначе.
Записывая элементы H в терминах базиса <1, λ>, то есть отождествляя ( x , y ) с x + λ y, когда x и y меняются по F , мы можем идентифицировать элементы F как упорядоченные пары ( x , 0), т.е. x + λ0. Свойства определенного умножения, которые превращают правое векторное пространство H в квазиполе:
- каждый элемент α из H, не принадлежащий F, удовлетворяет квадратному уравнению f (α) = 0;
- F находится в ядре H (это означает, что (α + β) c = αc + βc и (αβ) c = α (βc) для всех α, β в H и всех c в F ); а также
- каждый элемент из F коммутирует (мультипликативно) со всеми элементами H . [3]
Вывод
Другая конструкция, которая производит плоскости Холла, получается путем применения деривации к дезарговским плоскостям .
Процесс, созданный Т.Г. Остромом, который заменяет определенные наборы прямых в проективной плоскости альтернативными наборами таким образом, чтобы новая структура оставалась проективной плоскостью, называется выводом . Приведем подробности этого процесса. [4] Начните с проективной плоскости. порядка и обозначьте одну строку как его линия в бесконечности . Пусть A - аффинная плоскость . Набор D из точки называется деривационным множеством, если для каждой пары различных точек X и Y из A, которые определяют пересечение прямойв точке D , есть подплан Baer , содержащий X , Y и D (мы говорим , что такие Baer подпланов принадлежат к D ) . Определим новую аффинная плоскость следующим образом: точки являются точками A . Линии линии которые не встречаются в точке D (с ограничением на A ) и подплоскостях Бэра, которые принадлежат D (с ограничением на A ). Набор аффинная плоскость порядка и это, или его проективное пополнение, называется производной плоскостью . [5]
Характеристики
- Плоскости зала - это плоскости перевода .
- Плоскость Холла порядка 9 является единственной проективной плоскостью типа Ленца-Барлотти IVa.3, конечной или бесконечной. [6] Все остальные самолеты Холла относятся к типу Ленца-Барлотти IVa.1.
- Все конечные холловские плоскости одного порядка изоморфны.
- Плоскости холла не самодвойственны .
- Все конечные плоскости Холла содержат подплоскости порядка 2 ( подплоскости Фано ).
- Все конечные плоскости Холла содержат подплоскости порядка, отличного от 2.
- Самолеты Холла - это самолеты Андре .
Самая маленькая плоскость Холла (заказ 9)
Плоскость Холла девятого порядка была обнаружена ранее Освальдом Вебленом и Джозефом Веддерберном в 1907 году. [7] Существуют четыре квазитела девятого порядка, которые можно использовать для построения плоскости Холла девятого порядка. Три из них - системы Холла, порожденные неприводимыми многочленами, или же . [8] Первый из них создает ассоциативное квазиполе, [9] то есть ближнее поле , и именно в этом контексте плоскость была открыта Вебленом и Веддербурном. Эту плоскость часто называют плоскостью ближнего поля девятого порядка.
Заметки
- ^ Холл младший (1943)
- ^ Хотя конструкции будут обеспечивать проективную плоскость порядка 4, единственная такая плоскость является дезарговой и обычно не считается плоскостью Холла.
- ↑ Хьюз и Пайпер (1973 , стр.183)
- ^ Hughes & Piper (1973 , стр. 202-218, Глава X. Выведение)
- ↑ Хьюз и Пайпер (1973 , стр.203, теорема 10.2)
- ↑ Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275, стр. 126.
- ^ Веблен и Веддерберн (1907)
- ↑ Стивенсон (1972 , стр. 333–334)
- ↑ Хьюз и Пайпер (1973 , стр.186)
Рекомендации
- Дембовски, П. (1968), Конечная геометрия , Берлин: Springer-Verlag
- Холл - младший, Маршалл (1943), "Проективный Planes" (PDF) , Труды Американского математического общества , 54 : 229-277, DOI : 10,2307 / 1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990331 , MR 0008892
- Д. Хьюз и Ф. Пайпер (1973). Проективные плоскости . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90044-6.
- Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проективные самолеты , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
- Веблен, Оскар ; Wedderburn Джозеф HM (1907), "Non-Дезаргово и не Pascalian геометрии" (PDF) , Труды Американского математического общества , 8 : 379-388, DOI : 10,2307 / 1988781
- Вейбель, Чарльз (2007), «Обзор недезарговых плоскостей» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 54 (10): 1294–1303